l'hospital? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 10.04.2007 | | Autor: | snappy |
ich soll das verhalten bei +/- unendlich untersuchen
die fkt.lautet [mm] \bruch{x}{e^{x}} [/mm] laut lösung kann ich - [mm] \infty [/mm]
ohne L'hospital lösen aber + [mm] \infty [/mm] nicht. kann mir jemand erklären warum dass so ist?hab mir schon einige seiten zu l'hospital durchgelesen aber ich verstehe nicht wann ich das mache und wann nicht?
mfg snappy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Di 10.04.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
das hängt wohl damit zusammen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow - \infty} \bruch{x}{e^x} [/mm] = [mm] "\bruch{-\infty}{0}" [/mm] ist, hier kannst du L´Hospital nicht anwenden, da der Grenzwert von Zähler und Nenner gleich sein muss, wie bei [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} \bruch{x}{e^x} [/mm] = [mm] "\bruch{\infty}{\infty}"
[/mm]
Grüsse
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 10.04.2007 | | Autor: | snappy |
aber ist [mm] -\infty [/mm] durch 0 = 0? oder hab ich grad ein brett vorm kopf??
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> aber ist [mm]-\infty[/mm] durch 0 = 0? oder hab ich grad ein brett
> vorm kopf??
Hi,
das mit dem Brett bezweilfle ich,  vermutlich einfach zu schnell Behauptungen aufgestellt.
Der Zähler $x$ geht für [mm] $x\to-\infty$ [/mm] eindeutig gegen [mm] $-\infty$, [/mm] was ja schon die "Bewegung" selbst aussagt.
[mm] $e^x$ [/mm] geht nachwievor gegen 0.
Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Di 10.04.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also generell gilt: durch 0 teilen ist verboten !
Außerdem muss man bei solchen Grenzwertprozeßen sehr vorsichtig sein.
Denn es gilt z.B. NICHT immer: [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] oder 0 * [mm] \infty [/mm] = 0.
Das hängt von der Funktion ab. In solchen Fällen helfen nur andere Betrachtungen.
z.B. könntest du folgendes machen:
Du könntest z.B. das x durch -x ersetzen und dafür den Grenzwert für [mm] +\infty [/mm] statt für - [mm] \infty [/mm] betrachten.
Also: [mm] \limes_{x\rightarrow- \infty} \bruch{x}{e^x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{-x}{e^-x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} (-x)*e^x
[/mm]
Jetzt könnte man das Steigungsverhalten des Graphen und die Nullstellen betrachten von f(x) = [mm] (-x)*e^x.
[/mm]
f´(x) = [mm] (1+x)*(-e^x) [/mm]
Für positve x ist 1+x [mm] \le [/mm] 0 und -e^-x [mm] \ge [/mm] 0, also ist für x [mm] \le [/mm] 0 immer negativ.
D.h. der Graph fällt streng monoton.
Das wiederum bedeutet: entweder streben die Funktionswerte gegen [mm] -\infty [/mm] oder gegen 0.
Jetzt kommen die Nullstellen ins Spiel: f(x) hat eine Nullstelle bei x=0.
Da der Graph der Funktion aber fällt, kann er sich nicht der null nähern, dafür müsste er steigen, da die Funktionswere beim Überschreiten der Nullstelle negativ werden. Also kann der Grenzwert nur - [mm] \infty [/mm] sein.
Grüße
Fry
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> ich soll das verhalten bei +/- unendlich untersuchen
> die fkt.lautet [mm]\bruch{x}{e^{x}}[/mm] laut lösung kann ich -
> [mm]\infty[/mm]
> ohne L'hospital lösen aber + [mm]\infty[/mm] nicht. kann mir jemand
> erklären warum dass so ist?
Du darfst in beiden Fällen L'Hospital anwenden, aber bei
- [mm]\infty[/mm] ist dies nicht nötig:
Der Zähler wird zu einer immer "größeren" negativen Zahl, geht nach - [mm]\infty[/mm]. Der Nenner ist immer positiv, wird aber immer kleiner. Das verstärkt die "Größe" des Wertes noch: Also geht das Ganze gegen - [mm]\infty[/mm].
Für + [mm]\infty[/mm] ist dies nicht direkt einsichtig: Zähler und Nenner gehen beide nach + [mm]\infty[/mm]. Ist der Quotient nun 1, 0 oder 4711? Nun wendest du L'Hospital an (nicht zu verwechseln mit der Quotientenregel!) und erhältst [mm] 1/e^{x}. [/mm] Nun geht für x nach + [mm]\infty[/mm] der Zähler gegen Null. Außerdem wird er durch eine immer größere Zahl geteilt. Also wird das Ganze erst recht 0.
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