laplace in zylinderkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Sa 12.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Form des dreidimensionalen Laplace-Operators [mm] \nabla*\nabla [/mm] in Zylinderkoordiaten!
Antwort: [mm] \nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z} [/mm] |
Heyho!
Ausgehend von [mm] \nabla [/mm] in Zylinderkoordinaten komme ich auf
[mm] \nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z}
[/mm]
Was ist aber mit [mm] \bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}?
[/mm]
Wo kommt denn das her?
Darüber hinaus hatten wir auch [mm] \nabla [/mm] noch nicht in Zylinderkoordianten, von daher müsste ich das auch noch bestimmen. Aber weiß nicht wie...
Ich find diese Koordinatentransformationen blöd -_-
Versteh das voll nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 15.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie die Form des dreidimensionalen
> Laplace-Operators [mm]\nabla*\nabla[/mm] in Zylinderkoordiaten!
> Antwort:
> [mm]\nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z}[/mm]
Das muss wohl eher heißen:
[mm]\nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}^2+\partial_{z}^2[/mm]
> Heyho!
>
> Ausgehend von [mm]\nabla[/mm] in Zylinderkoordinaten komme ich auf
>
> [mm]\nabla^{2}=\partial_{\rho}^{2}+\bruch{1}{\rho^{2}}*\partial_{\varphi}+\partial_{z}[/mm]
>
> Was ist aber mit [mm]\bruch{1}{\rho}*\partial_{\rho}?[/mm]
Hast du daran gedacht, dass die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten nicht konstant sind, also
[mm] \partial_{\varphi} \vec{e}_\rho = \vec{e}_\varphi[/mm] , [mm] \partial_{\varphi} \vec{e}_\varphi= -\vec{e}_\rho[/mm] ?
>
> Wo kommt denn das her?
>
> Darüber hinaus hatten wir auch [mm]\nabla[/mm] noch nicht in
> Zylinderkoordianten, von daher müsste ich das auch noch
> bestimmen. Aber weiß nicht wie...
Du kannst es auch explizit machen, indem du zunächst [mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\varphi$schreibst
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \rho} = \bruch{\partial f}{\partial x} \bruch{\partial x}{\partial \rho} + \bruch{\partial f}{\partial y} \bruch{\partial y}{\partial\varphi} = \bruch{\partial f}{\partial x} \cos \varphi + \bruch{\partial f}{\partial y} \sin \varphi [/mm],
und analog
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \varphi} = - \rho\bruch{\partial f}{\partial x} \sin \varphi + \rho \bruch{\partial f}{\partial y} \cos \varphi [/mm] .
Daher ist
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \rho} \cos\varphi - \bruch{1}{\rho} \bruch{\partial f}{\partial \varphi} \sin \varphi = \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm]
und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \rho} \sin\varphi + \bruch{1}{\rho} \bruch{\partial f}{\partial \varphi} \cos \varphi = \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm],
oder
[mm] \bruch{\partial }{\partial x} = \cos\varphi \bruch{\partial}{\partial \rho} - \bruch{1}{\rho} \sin \varphi \bruch{\partial }{\partial \varphi} [/mm], [mm] \bruch{\partial}{\partial y} = \sin\varphi \bruch{\partial}{\partial \rho} + \bruch{1}{\rho} \cos\varphi\bruch{\partial }{\partial \varphi} [/mm] .
Damit kannst du mit ein bischen Aufwand die doppelten Ableitungen nach x und y durch die nach [mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\varphi$ [/mm] ausdrücken.
Viele Grüße
Rainer
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