le' hospital < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
soll mit le hospital f(x) = sin(x)*ln(x) bearbeiten
ich hab umgeformt:
[mm] \bruch{sin(x)}{\bruch{1}{ln(x)}}
[/mm]
dann das erste mal abgeleitet
[mm] \bruch{cos(x)}{\bruch{-1}{x*(ln(x))^2}}
[/mm]
es soll gelten: [mm] \limes_{x\rightarrow\\0}
[/mm]
also hab ich dann: [mm] \bruch{1}{\bruch{-1}{\infty}} [/mm] und das ist doch undefiniert ..stimmt das denn so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Sa 13.09.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
> Hallo,
> soll mit le hospital f(x) = sin(x)*ln(x) bearbeiten
>
> ich hab umgeformt:
> [mm]\bruch{sin(x)}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
> dann das erste mal abgeleitet
> [mm]\bruch{cos(x)}{\bruch{-1}{x*(ln(x))^2}}[/mm]
>
> es soll gelten: [mm]\limes_{x\rightarrow\\0}[/mm]
>
> also hab ich dann: [mm]\bruch{1}{\bruch{-1}{\infty}}[/mm]
Das stimmt so nicht. x läuft schneller gegen 0 als [mm] ln(x)^{2} [/mm] gegen [mm] +\infty.
[/mm]
Somit hast du: [mm] \bruch{1}{\bruch{-1}{0}}\to [/mm] 0
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
heißt das, dassman mit diesen grenzwerttermen am ende noch gerechnet werden kann ?
also da stand ja jetzt
[mm] \bruch{1}{\bruch{-1}{0}}
[/mm]
und es wird umgeformt zu
[mm] \bruch{1*0}{-1} \bruch{0}{-1} [/mm] = 0
weil ich bis jetzt imer gedacht hab, dass bei [mm] \bruch{-1}{0} [/mm] hier jetzt im nenner schluss wäre...
darf man auch in den Termen umformen also jetzt z.B. bei
f(x) = x* [mm] sin(1/x)^2 [/mm] für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}
[/mm]
ergibt sich [mm] \bruch{(sin(1/x))^2}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
also in der ersten Ableitung
[mm] \bruch{\bruch{-2*sin(1/x)*cos(1/x)}{x^2}}{\bruch{-1}{x}}
[/mm]
also darf man hier das [mm] -1/x^2 [/mm] aus dem zähler und nenner rauskürzen? so dass am ende 0 als grenzwert rauskommt?
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Hallo nooboo,
> hallo,
> heißt das, dassman mit diesen grenzwerttermen am ende noch
> gerechnet werden kann ?
> also da stand ja jetzt
>
>
> [mm]\bruch{1}{\bruch{-1}{0}}[/mm]
> und es wird umgeformt zu
>
> [mm]\bruch{1*0}{-1}\red{=} \bruch{0}{-1}[/mm] = 0
>
> weil ich bis jetzt imer gedacht hab, dass bei [mm]\bruch{-1}{0}[/mm]
> hier jetzt im nenner schluss wäre...
Jo, es ist [mm] $\frac{-1}{0}=-\infty$ [/mm] und damit dein Ausdruck [mm] $\frac{1}{\frac{-1}{0}}=\frac{1}{-\infty}=0$
[/mm]
(alles sehr salopp geschrieben)
Für deine Ausgangsaufgabe würde ich allerdings etwas anders vorgehen und [mm] $\sin(x)\cdot{}\ln(x)$ [/mm] schreiben als [mm] $\frac{\ln(x)}{\frac{1}{\sin(x)}}$
[/mm]
Das geht für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$, [/mm] also kannst du de l'Hôpital anwenden.
Nach insgesamt zweimaliger Anwendung kommst du auf 0 als bestimmten Grenzwert ...
So kommst du um die doch etwas "schwammige Begründung", das x schneller gegen 0 geht als [mm] $\ln^2(x)$ [/mm] gegen [mm] \infty
[/mm]
>
> darf man auch in den Termen umformen also jetzt z.B. bei
>
> f(x) = x* [mm]sin(1/x)^2[/mm] für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm]
>
> ergibt sich [mm]\bruch{(sin(1/x))^2}{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> also in der ersten Ableitung
> [mm]\bruch{\bruch{-2*sin(1/x)*cos(1/x)}{x^2}}{\bruch{-1}{x}}[/mm]
>
> also darf man hier das [mm]-1/x^2[/mm] aus dem zähler und nenner
> rauskürzen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> so dass am ende 0 als grenzwert rauskommt?
Jo, es bleibt ja nach dem Kürzen [mm] $2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] und das geht für [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen 0
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die antwort
gilt das mit dem rauskürzen in allen situationen bei dieser regel oder war das hier eine ausnahme?
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Hallo nochmal,
> hallo,
> danke für die antwort
> gilt das mit dem rauskürzen in allen situationen bei
> dieser regel oder war das hier eine ausnahme?
>
>
Hm, ich würde i.A. sagen: "kürzen, wo es geht" 
Ich meine, du kannst ja die Terme auch stehenlassen und mal den Grenzübergang machen ohne vorher zu kürzen ...
Aber wenn du zB de l'Hôpital mehrfach anwenden willst/musst, ergeben sich ohne Vereinfachungen (also zB Kürzen) höllische Ausdrücke ...
Das kommt auch immer ein bisschen auf die konkrete Aufgabe an, also immer schauen, was geht
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke nochmal
mir ist jedoch noch eine frage eigefallen, wenn cih die regel mehrmals anwende also von mir aus 3 mal.
nach der ersten anwendung kürze ich und es kommt 0/0 raus und cih wende danna uf die gekürzten ausdrücke erneut die regel an ..darf ich das? oder muss der ausruck in seiner originalform bleiben, wenn ich die regel darauf nochmal anwenden möchte?
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Hallo noobo2,
> hallo,
> danke nochmal
> mir ist jedoch noch eine frage eigefallen, wenn cih die
> regel mehrmals anwende also von mir aus 3 mal.
> nach der ersten anwendung kürze ich und es kommt 0/0 raus
> und cih wende danna uf die gekürzten ausdrücke erneut die
> regel an ..darf ich das? oder muss der ausruck in seiner
> originalform bleiben, wenn ich die regel darauf nochmal
> anwenden möchte?
Wenn Du nach der ersten Anwendung wieder auf einen Ausdruck der Form [mm]\bruch{0}{0}[/mm] stößt, dann ist auf diesen Ausdruck die Regel erneut anzuwenden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich meinte wenn der ausdruck zwar 0/0 ist obwohl ich die regel schon einmal angewendet habe , ich aber zuvor gekürzt habe aus dem ursprungsterm heraus.
Also kurz udn prägnant:
darf ich die regel nochmal benutzen wenn ichh aus dem term herauskegkürzt habe udn 0/0 rauskommt?
Weil es ja ein unterschied ist ob man den gekürzten term ableitet oder den der ungekürzt ist da man ja zähler und nenner einzeln ableitet
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Hallo noobo2,
> hallo,
> ich meinte wenn der ausdruck zwar 0/0 ist obwohl ich die
> regel schon einmal angewendet habe , ich aber zuvor gekürzt
> habe aus dem ursprungsterm heraus.
> Also kurz udn prägnant:
> darf ich die regel nochmal benutzen wenn ichh aus dem term
> herauskegkürzt habe udn 0/0 rauskommt?
Ja.
> Weil es ja ein unterschied ist ob man den gekürzten term
> ableitet oder den der ungekürzt ist da man ja zähler und
> nenner einzeln ableitet
Den gekürzten Term mußt Du erst wieder auf die Form [mm]\bruch{0}{0}[/mm] bringen, dann kann die Regel von
L'hospital angewendet werden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 13.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die zügige antwort.
ich wollte nur nachfragen, ob ch das richtig verstanden hab
wenn ich aus dem term herausgekürzt habe und er bleibt trotzdem bei (0/0) dann darf ich l`hospital nochmal anwenden?
weil die ableitung des terms der durch das rauskürzen entstanden ist und der originalterm sind ja unterschiedlich , leider fällt mri keien beispiel ein indem es jetzt so ist
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die regel von le'hospital ist ja ganz allgemein gültig, wenn die bedingungen erfüllt sind. und da du sagen kannst f'(x) = h(x) kannst du die beiden ableitungen oben und unten natürlich wieder als funktionen z.B h(x) und e(x) bezeichnen und wenn die die bedingungen für l'hospital erfüllen, kann man die regel natürlich anwenden. das heißt der grenzwert von f''(x) = dem von f'(x) ist gleich dem fon f(x), solange alle bedingungen für le'hospital erfüllt sind. ich hoffe, dass hab ich halbwegs verständlich geschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Sa 13.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > Hallo,
> > soll mit le hospital f(x) = sin(x)*ln(x) bearbeiten
> >
> > ich hab umgeformt:
> > [mm]\bruch{sin(x)}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
> > dann das erste mal abgeleitet
> > [mm]\bruch{cos(x)}{\bruch{-1}{x*(ln(x))^2}}[/mm]
Hallo,
mir fällt bei vielen dieser Anfragen auf, dass kaum noch jemand den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x} [/mm] kennt. Der ist 1, also kann man bei der Annäherung an x=0 den Term sin(x) durch x ersetzen.
Jetzt wird L'Hospital simpel.
Gruß Abakus
> >
> > es soll gelten: [mm]\limes_{x\rightarrow\\0}[/mm]
> >
> > also hab ich dann: [mm]\bruch{1}{\bruch{-1}{\infty}}[/mm]
>
> Das stimmt so nicht. x läuft schneller gegen 0 als
> [mm]ln(x)^{2}[/mm] gegen [mm]+\infty.[/mm]
>
> Somit hast du: [mm]\bruch{1}{\bruch{-1}{0}}\to[/mm] 0
>
> Gruß,
>
> clwoe
>
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> Hallo,
> soll mit le hospital f(x) = sin(x)*ln(x) bearbeiten
Was soll das heissen ?
Welcher Grenzwert ist gesucht ?
LG
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Hallo Al,
siehe 4 Zeilen tiefer im Ausgangspost:
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}$ [/mm] (wohl eher aber nur der rechtsseitige )
LG
schachuzipus
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