lebesgue-integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mo 27.08.2007 | | Autor: | biblis |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo,
ich hab mal fragen zum lebesgue-integral. wenn ich ehrlich bin, versteh ich das gesamte thema nicht so ganz. das riemann-integral ist zb sehr anschaulich und für mich total verständlich, aber lebesgue wirft bei mir nur fragen auf....
ich weiß, dass man bei lebesgue den wertebereich unterteilt und nicht den definitonsbereich, wie bei riemann. aber worin besteht der vorteil? wieso mache ich das?
sigma-algebra und das mit dem maß habe ich soweit verstanden (glaub ich zumindest). aber was mir auch noch völlig unklar ist, sind die "treppenabbildungen". mir ist schleierhaft, was damit gemeint ist, wenn es zb heißt: Grenzwert [mm] f_{n}(x)= [/mm] f(x). ist damit gemeint, dass ich eine so feine zerteilung des intervalls habe, dass die treppenabbildung praktisch mein f ist? irgendwie versteh ich diese ganzen folgen [mm] f_{n} [/mm] nicht so ganz.
ich hab schon überall geschaut, ob ich ne gute anschauung finde, aber leider verwirrt mich alles nur mehr :(
da ich den ganzen kram mit den folgen nicht verstehe, versteh ich die ganzen konvergenzsätze auch überhaupt nicht. ich "weiß", dass ich integration und grenzwertbildung vertauschen darf, aber was mir das im endeffekt aussagt und welchen nutzen ich davon hab, ist für mich ein großes rätsel....
also, das waren jetzt fragen über fragen, aber lebesgue ist für mich einfach ein buch mit 7000 siegeln. wäre supi, wenn mir irgendjemand zumindest eine frage beantworten könnte und je anschaulicher, desto besser.
falls jemand einen guten link zu diesem thema weiß, kann er ihn mir auch gerne sagen, denn ich bin weder in büchern noch im internet schlau geworden :(
liebe grüße
biblis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
um deine Frage beantworten zu können, musst du sagen, wie ihr das Lebesgue-Integral definiert habt, da es unzählig viele Möglichkeiten gibt das Lebesgue-Integral zu konstruieren.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, verstehst du nicht wozu Lebesgue-Integral gut sind, oder?
Ich versuche dir das mal zu erklären. Das Riemann-Integral kennst du ja. Jetzt gibt es aber Funktionen, die nicht Riemann-integrierbar sind. Solche Funktionen sind z.B. cos(1/x) auf [0,1] oder die Dirichlet-Funktion auf IR.
Weiter weis man ja, dass man Integration und gleichmäßige Konvergenz vertauschen darf. Gleichmäßige Konvergenz ist aber schon eine relativ starke Bedingung an eine Funktionenfolge.
Das Lebesgue-Integral hat nun den Vorteil, dass es wesentlich mehr Funktionen (z.B. die oben genannten) "integrieren" kann. Daher ist es sozusagen "besser" als das Riemann-Integral.
Ein weiterer Vorteil des Lebesgue-Integrals sind die Konvergenzsätzte, da sie wesentlich schwächere Bedingungen an die Funktionenfolge angeben.
Das Lebesgue-Integral braucht man nun z.B. um zu verstehen was ein Volumen ist. Man kann aus der Integrations die Maßtheorie entwickeln. Mit dem Riemann-Integral würde das nicht so gut klappen, da man dann nicht so angenehme Eigenschaften hat, wie man von einem Maß erwartet.
Die Konvergenzsätzte braucht man für viele Sachen. Man kann damit bessere Ergebnisse über die Differentiation paramterabhängiger Integrale erhalten, beweisen, dass das Lebesgue-Maß auch wirklich ein Maß ist auf der Sigma-Algebra der meßbaren Mengen. Auch in vielen anderen Beweisen, muss man wissen, dass man Integration und Limesbildung vertauschen darf.
Die anderen Dinge die du aufgezählt hast sind im Wesentlichen da, um das Lebesgue-Integral zu konstruieren.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 27.08.2007 | | Autor: | biblis |
hallo hund,
danke für deine antwort.
hier ist unsere definition vom lebesgue-integral:
[mm] \lim_{n \to \infty}[/mm] [mm] \integral_{M}^{} [/mm] [mm] g_{n}(x)\ [/mm] d[mm] \mu [/mm]= [mm] \integral_{M}^{} [/mm] f(x) d[mm]\mu [/mm]
wobei [mm] g_{n} [/mm] eine | [mm] |_{1} [/mm] cauchyfolge ist.
das ich gleichmäßige konvergenz mit integration vertauschen darf, wusst ich jetzt nicht, aber da fällt mir ein, dass mein prof mal erwähnt hat, dass ich für lebegue nur punktweise konvergenz brauche, also wäre das auch ein vorteil von lebesgue. aber was bringt es mir, wenn ich konvergenz und integral vertauschen kann? ist das nur ein rechnerisches hilfmittel oder hab ich auch praktisch etwas davon?
mir ist aber ehrlich gesagt diese definiton mit den treppenfunktionen nicht ganz klar..ich versteh nicht, wieso ich mir diese folgen wähle etc.
liebe grüße
biblis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Fr 31.08.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
zu den Konvergenzsätzten:
Die Konvergenzsätze sind einmal ein praktisches Hilfsmittel zum Rechnen und auch ein theoretisches Hilfsmittel, da auf denen viele Sätze beruhen.
(z.B. der Integralsatz von Gauß)
zu den Treppenfunktionen:
Man möchte ja als Integral, die "Fläche" unter dem Funktionsgraphen definieren. Jetzt weis man (wenn man das Riemann-Integral noch nicht kennt) nur eine sinnvolle Definition des Flächeninhalts für Rechtecke. Damit kann man nun ein Integral für Treppenfunktionen definieren. (Indem man den Flächeninhalt der Rechtecke unter dem Graphen der Treppenfunktion berechnet, was ja alles Rechtecke sind.) Um allgemeinere Funktionen integrieren zu können, verwendet man dann deine Definition, d.h. man sucht (falls vorhanden, d.h. falls Lebesgue-Integrierbar) eine Folge von Treppenfunktionen, die im Sinne der 1-Norm gegen die Funktion konvergiert, so definiert man das Intergral sinngemäß durch deine obere Definition.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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