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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Di 16.10.2007 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Für alle Mengen M gilt:
[mm] \emptyset \subset [/mm] M |
hallo allerseits,
schaue grad ein paar Unterlagen bei mir nach und sehe diese Frage!weiß zwar das es gilt bloß warum gilt es???erkenne den zusammenhang nicht mehr!wäre nett wenn mir jemand dies erklären würde damit ich mal wieder den überblick habe!
recht herzlichen dank im vorraus!
LG
nimet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Di 16.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für alle Mengen M gilt:
>
> [mm]\emptyset \subset[/mm] M
> schaue grad ein paar Unterlagen bei mir nach und sehe diese
> Frage!weiß zwar das es gilt bloß warum gilt es???
Das gilt, weil jedes Element der leeren Menge auch in A liegt. Dazu muß ich A nicht genauer kennen.
Sonst kannst du ja mal versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden. Wenn es dir nicht gelingt, ist das natürlich noch kein Beweis, aber es übt den Umgang mit der leeren Menge.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
| Aufgabe | [mm] \emptyset \subset [/mm] M
[mm] \emptyset \in [/mm] M
[mm] \emptyset \in 2^\emptyset
[/mm]
[mm] \left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\}
[/mm]
[mm] \left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] |
Also welche Frage sich mir stellt ist:
Worin liegt der unterschied zwischen der Leeren Menge ohne geschweifte Klammern und der mit geschweiften Klammern?
Ist eine Leere Menge ohne geschweifte Klammern ein Element? Kann die Leere Menge überhaupt ein "nur" Element sein oder ist es wenn eine Teilmenge, denn eigentlich ist doch die Leere Menge eine Menge, aber sie ist doch wohl auch in jeder Menge enthalten!?
Mir ist irgendwie einfach der Unterschied nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 16.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo [mm] Kar_o [/mm] und
zuerst mal eine Notation:
[mm] \{A;B\} [/mm] ist die Menge, die die Elemente A und B enthält. Was A und B sind ist erstmal egal, es könnten auch selber wieder Mengen sein.
[mm] \emptyset [/mm] alleine ist "nur" die Bezeichnung für die Leere Menge, also [mm] \emptyset=\{\}
[/mm]
[mm] \{\emptyset\} [/mm] ist die Bezeichnung einer Menge, die die leere Menge enthält. Diese ist dann natürlich nicht leer, es gilt ja: [mm] \emptyset\subset\{\emptyset\}
[/mm]
Korrektur bzw. Ergänzung: Das gilt auch, aber das Nicht-Leer-Sein folgt aus [mm] \emptyset \in \{\emptyset\} [/mm] (statler/17.10.07))
Und jetzt schau mal diene 5 Aufgaben an, und versuche herauzufinden, was gilt, was nicht glt, und was von der Notation überhaupt nicht funktionieren kann.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 16.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
| Aufgabe | $ [mm] \emptyset \subset [/mm] $ M
$ [mm] \emptyset \in [/mm] $ M
$ [mm] \emptyset \in 2^\emptyset [/mm] $
$ [mm] \left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] $
$ [mm] \left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] $ |
Ich schlussfolgere mal daraus, dass
$ [mm] \emptyset \subset [/mm] $ M ist richtig wenn in M neben (der in jeder Menge enthaltenen) Leeren Menge auch noch weitere Elemente enthalten sind, die nicht in der leeren Menge enthalten sind (da sind ja eh keine Elemente enthalten). Richtig?
Und ich würde mal sagen $ [mm] \emptyset \in [/mm] $ M geht nicht, denn [mm] \emptyset [/mm] ist eine Menge und kein Element. Oder?
(Ich hab irgendwie das Gefühl mir selbst auf der Leitung zustehen!)
Obwohl ich wiederum bei [mm] \emptyset \in 2^\emptyset [/mm] sagen würde es ist richtig, weil [mm] 2^\emptyset [/mm] = [mm] \left\{ \emptyset \right\} [/mm] und somit [mm] \emptyset [/mm] enthalten ist. Das würde allerdings wieder dem Satz vor diesem widersprechen. .. *mmh*
Bei [mm] \left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] denk ich, das ist falsch, denn neben [mm] \left\{ \emptyset \right\} [/mm] hat [mm] 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] ja noch [mm] \emptyset [/mm] und somit wäre es statt einer Inklusion eine echte Inklusion.
Und [mm] \left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] : In [mm] 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] ist doch [mm] \left\{ \emptyset \right\} [/mm] enthalten, dass es noch weiter Elemente enthält interessiert ja in dem Moment nich.
Bin ich da irgendwie richitg oder auf dem totalen Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Mi 17.10.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> [mm]\emptyset \subset[/mm] M
> [mm]\emptyset \in[/mm] M
> [mm]\emptyset \in 2^\emptyset[/mm]
> [mm]\left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
>
> [mm]\left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
>
> Ich schlussfolgere mal daraus, dass
>
> [mm]\emptyset \subset[/mm] M ist richtig wenn in M neben (der in
> jeder Menge enthaltenen) Leeren Menge auch noch weitere
> Elemente enthalten sind, die nicht in der leeren Menge
> enthalten sind (da sind ja eh keine Elemente enthalten).
> Richtig?
Ich bin mir völlig sicher, daß du nicht meinst, was du sagst. Deine Aussage ist nämlich richtig. Sie ist richtig, weil [mm] \emptyset \subset [/mm] M immer wahr ist, ganz egal, wie M aussieht.
> Und ich würde mal sagen [mm]\emptyset \in[/mm] M geht nicht, denn
> [mm]\emptyset[/mm] ist eine Menge und kein Element. Oder?
Doch, das geht. [mm] \emptyset \in [/mm] M [mm] \gdw [/mm] M = [mm] \{\emptyset, ... \}.
[/mm]
> (Ich hab irgendwie das Gefühl mir selbst auf der Leitung
> zustehen!)
> Obwohl ich wiederum bei [mm]\emptyset \in 2^\emptyset[/mm] sagen
> würde es ist richtig, weil [mm]2^\emptyset[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> und somit [mm]\emptyset[/mm] enthalten ist. Das würde allerdings
> wieder dem Satz vor diesem widersprechen. .. *mmh*
> Bei [mm]\left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> denk ich, das ist falsch, denn neben [mm]\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> hat [mm]2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm] ja noch [mm]\emptyset[/mm] und
> somit wäre es statt einer Inklusion eine echte Inklusion.
> Und [mm]\left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> : In [mm]2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm] ist doch [mm]\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> enthalten, dass es noch weiter Elemente enthält
> interessiert ja in dem Moment nich.
Hier weiß ich nicht, was 'Zahl hoch Menge' bedeuten soll. Ich kenne 'Zahl hoch Zahl', 'Menge hoch Zahl' und 'Menge hoch Menge'.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
Hallo,
also das verwirrt mich jetzt irgendwie nochmehr. naja wie auch immer.
diese [mm] 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \emptyset \left\{ \emptyset \right\}\right\} [/mm] ist doch die Potenzmenge von der leeren Menge, bzw. [mm] 2^\left\{ a \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \emptyset, \left\{ a \right\}\right\} [/mm] bzw. [mm] 2^\left\{ a,b \right\} [/mm] = [mm] \left\{ \emptyset, \left\{ a \right\}, \left\{ b \right\}, \left\{ a,b \right\} \right\}!
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mi 17.10.2007 | | Autor: | statler |
> Hallo,
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> also das verwirrt mich jetzt irgendwie nochmehr. naja wie
> auch immer.
> diese [mm]2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \left\{ \emptyset \right\}\right\}[/mm]
> ist doch die Potenzmenge von der leeren Menge, bzw.
> [mm]2^\left\{ a \right\}[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset, \left\{ a \right\}\right\}[/mm]
> bzw. [mm]2^\left\{ a,b \right\}[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset, \left\{ a \right\}, \left\{ b \right\}, \left\{ a,b \right\} \right\}![/mm]
>
Die Potenzmenge der leeren Menge wird meistens [mm] \mathcal{P}(\emptyset) [/mm] geschrieben und ist = [mm] \{\emptyset\}; [/mm] die Anzahl ihrer Elemente ist = [mm] 2^{0} [/mm] = 1. Eine Menge und die Anzahl ihrer Elemente sind 2 völlig verschiedene Dinge!
Gruß
Dieter
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Hallo,
zur Schreibweise:
ich kenne habe für die Potenzmenge von M auch die Schreibweise [mm] \mathcal{P}(M) [/mm] kennengelernt, sowie geringfügige Variationen davon.
Aber die Schreibweise [mm] 2^M [/mm] scheint durchaus an einigen Stellen für die Potenzmenge von M verwendet zu werden, ich habe dasauch erst hier im Forum kennengelernt.
Unter ![[]](/images/popup.gif) charakteristische Funktion erklärt Wikipedia die Motivation dieser Schreibweise.
In einem Skript der Uni Münster, in Welchem auch [mm] 2^M [/mm] die Potenzmenge ist, fand ich eben noch folgendes: "...dass [mm] 2^n
[/mm]
die Elementzahl der Potenzmenge von M ist. Ersetzen der
Elementzahl n durch die zugehörige Menge M ergibt dann die zur Bezeichnung
Potenzmenge passende Schreibweise $ ^{M}2 $"
Auch das mathematische Leben steckt halt voller Überraschungen.
Gruß v. Angela
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> [mm]\emptyset \in 2^\emptyset[/mm]
> [mm]\left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
>
> [mm]\left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
>
> [mm]\emptyset \in 2^\emptyset[/mm] sagen
> würde es ist richtig, weil [mm]2^\emptyset[/mm] = [mm]\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> und somit [mm]\emptyset[/mm] enthalten ist.
Hallo,
ja, so ist es.
> Bei [mm]\left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
überlegen wir estmal, wie die Menge aussieht, in einem Deiner späteren Posts schreibst Du es selber:
[mm] \left\{ \emptyset \right\} \subseteq 2^\left\{ \emptyset \right\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}.
[/mm]
> [mm]\left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
Hier ist gefragt, ob die Menge, die nur [mm] \emptyset [/mm] enthält, eine Teilmenge von [mm] 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] ist.
Wenn [mm] \emptyset [/mm] ein Element von [mm] 2^\left\{ \emptyset \right\} [/mm] ist, ist das der Fall.
Also?
> Und [mm]\left\{ \emptyset \right\} \in 2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> : In [mm]2^\left\{ \emptyset \right\}[/mm] ist doch [mm]\left\{ \emptyset \right\}[/mm]
> enthalten, dass es noch weiter Elemente enthält
> interessiert ja in dem Moment nich.
Ja.
Gruß v. Angela
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