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| Aufgabe | Involutionseigenschaft der Legendretransformation:
Sei für [mm] L\in C^{2}(U) [/mm] die Gradientenabbildung [mm] f:U\to [/mm] V, f(x)=DL(x), diffeomorph, und sei H die Legendretransformierte von L. Dann folgt DH=g mit [mm] g=f^{-1}\in C^{1}(V,U), [/mm] insbesondere [mm] H\in C^{2}(V), [/mm] und die Legendretransformierte von H ist wieder L:
[mm] L(x)=(\summe_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}-H(y))|_{y=f(x)} [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] U. |
Hallo!
Dieser Satz steht bei mir im Ana-2-Skript.
Ich habe versucht erstmal zu verstehen, was die Legendretransformation sein soll und bin bei Wikipedia auf folgendes gestoßen:
"Geometrisch lässt sich der Sachverhalt [so] veranschaulichen: Die Kurve kann, statt die Punktmenge anzugeben, aus der sie besteht, auch durch die Menge aller Tangenten charakterisiert werden, die sie einhüllen. Genau das passiert bei der Legendre-Transformation. Die Transformierte, g(u), ordnet der Steigung u einer jeden Tangente deren Y-Achsenabschnitt zu. Es ist also eine Beschreibung derselben Kurve - nur über einen anderen Parameter, nämlich u statt x."
Ich habe das folgender Maßen verstanden:
Normaler Weise gibt man ja Funktionen zwischen zwei Mengen A und B durch eine Beziehung zwischen einem Element von A und einem Element von B an.
Mit der Legendretransformation wird die Funktion stattdessen durch die Tangenten an den einzelnen Punkten beschrieben. Diese Tangenten mit der Steigung u schneiden die y-Achse an einem Punkt v. Und der Punkt der Funktion, der sonst mit (x,f(x)) beschrieben wird, wird hier mit (u,v) (oder so?) beschrieben.
Stimmt das so in den Grundzügen?
Wie genau stelle ich denn dann den Punkt (x,f(x)) in der Legendretransformation dar?
Wieso ist das so nützlich?
Und was ist dann diese "Involutionseigenschaft" im Satz?
Kann mir hier jemand helfen? Das wäre super!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Di 21.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lily,
> Wie genau stelle ich denn dann den Punkt (x,f(x)) in der
> Legendretransformation dar?
>
> Wieso ist das so nützlich?
wichtige Anwendungen der Legendretransformation habe ich erst wirklich nach meinem
Studium kennengelernt - und das in einem anderen Bereich. In der Thermodynamik
("Gleichgewichts-Thermo-'Dynamik'") findet sie oft Anwendung. Man kann theoretisch
alles irgendwie beschreiben (Energie-
erhaltung und und und), und nun kann es sein, dass man aus gewissen Gründen
das ganze gerne anders beschreiben würde, weil man andere physikalische Größen
messen (oder genauer messen) kann. Man will also einen "Variablenwechsel"
durchführen.
Google mal einfach nach z.B. den Maxwell-Relationen, wenn's Dich interessiert. Oder
schau' (kurz) in das Buch "Thermodynamik" von Langbein oder in andere Bücher
über TD. Mathematisch gut und ausführlich findet man auch in Garckes "Mathematische
Modellierung" einiges dazu.
Also: Nur eine minimale Antwort mit einer minimalen Auswahl bzgl. "Wozu das ganze?"
(Bzw.: Warum sollen wir Student(inn)en uns mit sowas rumquälen?  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Di 21.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hui! Danke!
Mit der Thermodynamik werde ich wohl nie etwas zu tun haben, aber gut, dass ich jetzt weiß, dass es wohl doch einen Zweck hat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Do 23.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
Ich bin immer noch an einer Antwort interessiert! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 26.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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