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| Aufgabe | | [mm] A=\pmat{ 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 2 & 0 & 1- \lambda }, [/mm] berechnen sie die Determinante dieser Matrix mit der Leibnizformel. |
Hallo,
Also wie man die Determinante dieser Matrix berechnet weiß ich,nur nicht mit der Leibnisformel,das wüsste ich jetzt so nicht wie ich das machen soll.
Ich hoffe jemand kann mir da weiter helfen.
Gruß
eva marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
> [mm]A=\pmat{ 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 2 & 0 & 1- \lambda },[/mm]
> berechnen sie die Determinante dieser Matrix mit der
> Leibnizformel.
> Hallo,
Hallo,
> Also wie man die Determinante dieser Matrix berechnet weiß
> ich,nur nicht mit der Leibnisformel,das wüsste ich jetzt so
> nicht wie ich das machen soll.
> Ich hoffe jemand kann mir da weiter helfen.
Ich habe mich zwar lange nicht mehr damit beschäftigt, aber ich denke schon.
Zunächst siehe Dir Deine Leibnizformel an. Ich benutze diese hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29#Leibniz-Formel
Nun müssen wir zunächst alle Permutationen ermitteln die in [mm] $S_3$ [/mm] enthalten sind. Die Anzahl der Permutationen ist 6, wofür es eine allgemeine Formel gibt:
[mm] $\vert{S_n}\vert\,=\,n$!
[/mm]
Bestimmen wir diese nun. Ich gehe hierbei nicht allzusehr ins Detail:
[mm] $\sigma_1\,=\,\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3}$
[/mm]
[mm] $\sigma_2\,=\,\pmat{1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2}$
[/mm]
[mm] $\sigma_3\,=\,\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3}$
[/mm]
[mm] $\sigma_4\,=\,\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1}$
[/mm]
[mm] $\sigma_5\,=\,\pmat{1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}$
[/mm]
[mm] $\sigma_6\,=\,\pmat{1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}$
[/mm]
und hierbei gilt [mm] $\sigma_1,\ldots,\sigma_6\in S_3$. [/mm] Über diese Elemente muss du nun summieren, d.h. Du hast insgesamt 6 Summanden. Diese Darstellungen kannst Du Dir wie bijektive Abbildungen vorstellen. Z.B.: bei [mm] $\sigma_6$ [/mm] wird [mm] $1\mapsto [/mm] 3$, [mm] $2\mapsto [/mm] 1$ und [mm] $3\mapsto [/mm] 2$ abgebildet, d.h. [mm] $\sigma_6(1)=3$, $\sigma_6(2)=1$ [/mm] und [mm] $\sigma_6(3)=2$. [/mm] Damit solltest Du den Inhalt des Produktes verstehen.
[mm] sgn$(\sigma_6)$ [/mm] ist die Signum-Funktion. Diese ist 1 wenn die Anzahl der Vertauschungen geradzahlig und -1, wenn die Anzahl der Vertauschungen ungeradzahlig ist. In unserem Fall haben wir
[mm] sgn$(\sigma_1)\,=\,1$
[/mm]
[mm] sgn$(\sigma_2)\,=\,-1$
[/mm]
[mm] sgn$(\sigma_3)\,=\,-1$
[/mm]
[mm] sgn$(\sigma_4)\,=\,-1$
[/mm]
[mm] sgn$(\sigma_5)\,=\,1$
[/mm]
[mm] sgn$(\sigma_6)\,=\,1$
[/mm]
Beginnen wir nun mit der Berechnung:
[mm] $\det\pmat{ 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 2 & 0 & 1- \lambda }$
[/mm]
[mm] $=\,\sum_{\sigma\in S_3}\left(sgn(\sigma)\prod_{i=1}^3 a_{i,\sigma(i)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\,1\cdot\prod_{i=1}^{3}a_{i,\sigma_1(i)}-1\cdot\prod_{i=1}^{3}a_{i,\sigma_2(i)}-1\cdot\prod_{i=1}^{3}a_{i,\sigma_3(i)}-1\cdot\prod_{i=1}^{3}a_{i,\sigma_4(i)}+1\cdot\prod_{i=1}^{3}a_{i,\sigma_5(i)}+1\cdot\prod_{i=1}^{3}a_{i,\sigma_6(i)}$
[/mm]
[mm] $=\,1\cdot[a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}]-1\cdot[a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}]-1\cdot[a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}]-1\cdot[a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}]+1\cdot[a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}]+1\cdot[a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}]$
[/mm]
Nun setzen wir für die [mm] $a_{i,j}$ [/mm] die entsprechenden Matrizeneinträge ein und rechnen dies anschließend aus. Ich denke, dass Du den Rest selbst schaffen solltest.
Ich hoffe, dass Dir dies etwas weitergeholfen hat.
> Gruß
> eva marie
Gruß
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Hallo,
Super danke,ich habe es verstanden!!
gruß
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