lemma von mazur < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Fr 02.12.2011 | | Autor: | hula |
Hallöchen,
Ich kenne folgenden Beweis von Mazur:
wenn $ [mm] x_n [/mm] $ schwach gegen ein $ [mm] x_0 [/mm] $ konvergiert, dann existieren Konvexkombinationen $ [mm] y_l [/mm] $ von $ [mm] x_n [/mm] $ so dass $ [mm] y_l \to x_0 [/mm] $ stark konvergiert.
Im Beweis wird ja die Menge $ K:= [mm] cl(conv(\{x_k\})) [/mm] $ also die abgeschlossene konvexe Hülle der $ [mm] x_k [/mm] $ definiert. Man weiss nun, dass diese Menge auch schwach abgeschlossen ist. D.h. $ [mm] x_0 \in [/mm] K $.
Da wir auf einem normierten Vektorraum sind, haben wir insbesondere eine Metrik. Daher kann ich eine Folge $ [mm] y_l [/mm] $ aus $ [mm] conv(\{x_k\}) [/mm] $ finden die stark gegen $ [mm] x_0 [/mm] $ konvergiert. Wieso ist $ [mm] y_l [/mm] $ von der Gestalt:
$ [mm] y_l =\summe_{i=1}^{l}\lambda_i x_i [/mm] $ mit $ [mm] \summe_{i=1}^{l}\lambda_i [/mm] = 1 $.
Ich weiss, dass in einer konvexen Hülle die Elemente die Form
$ [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_i [/mm] $ besitzen
Aber oben wird ja für jedes $ l $ ein weiteres $ [mm] x_i [/mm] $ dazugenommen? wieso besteht $ [mm] y_1 [/mm] $ gerade aus $ [mm] x_1 [/mm] $? Wieso ist die gefundene Folge gerade dadurch beschrieben, dass ich $ [mm] y_l [/mm] $ au sden $ [mm] x_1, \dots, x_l [/mm] $ konstruieren kann?
greetz
hula
Edit: Die Frage geht wohl auf folgendes hinaus:
die oben gefundene Folge $ [mm] y_l [/mm] $ ist apriori ja in $ [mm] conv(\{x_k\} [/mm] $. Dass heisst von der Form
[mm] $\summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_{\alpha_i} [/mm] $ wobei $ [mm] \alpha_i \in \IN [/mm] $. Kann ich ein $ [mm] y_l [/mm] $ immer so darstellen, dass ich eine endliche Anzahl $ [mm] x_{\alpha_i}, \dots, x_{\alpha_q} [/mm] $ (dies seien $ m$ Elemente) wähle und dann die $\ [mm] \lambda_i [/mm] $ finden kann, so dass $ [mm] y_l [/mm] = [mm] \lambda_1 x_{\alpha_i} +\dots \lambda_m x_{\alpha_q}$ [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Fr 02.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen,
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> Ich kenne folgenden Beweis von Mazur:
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> wenn [mm]x_n[/mm] schwach gegen ein [mm]x_0[/mm] konvergiert, dann existieren
> Konvexkombinationen [mm]y_l[/mm] von [mm]x_n[/mm] so dass [mm]y_l \to x_0[/mm] stark
> konvergiert.
>
> Im Beweis wird ja die Menge [mm]K:= cl(conv(\{x_k\}))[/mm] also die
> abgeschlossene konvexe Hülle der [mm]x_k[/mm] definiert. Man weiss
> nun, dass diese Menge auch schwach abgeschlossen ist. D.h.
> [mm]x_0 \in K [/mm].
Damit ist der Beweis doch fertig !
> Da wir auf einem normierten Vektorraum sind, haben wir
> insbesondere eine Metrik. Daher kann ich eine Folge [mm]y_l[/mm] aus
> [mm]conv(\{x_k\})[/mm] finden die stark gegen [mm]x_0[/mm] konvergiert. Wieso
> ist [mm]y_l[/mm] von der Gestalt:
>
> [mm]y_l =\summe_{i=1}^{l}\lambda_i x_i[/mm] mit
> [mm]\summe_{i=1}^{l}\lambda_i = 1 [/mm].
>
> Ich weiss, dass in einer konvexen Hülle die Elemente die
> Form
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_i x_i[/mm] besitzen
> Aber oben wird ja für jedes [mm]l[/mm] ein weiteres [mm]x_i[/mm]
> dazugenommen? wieso besteht [mm]y_1[/mm] gerade aus [mm]x_1 [/mm]? Wieso ist
> die gefundene Folge gerade dadurch beschrieben, dass ich
> [mm]y_l[/mm] au sden [mm]x_1, \dots, x_l[/mm] konstruieren kann?
Ehrlich gesagt, ist mir das auch nicht klar und ich glaube das auch nicht. Wo hast Du denn diesen Beweis her ?
FRED
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> greetz
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> hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 Fr 02.12.2011 | | Autor: | hula |
Siehe Edit im 1. Beitrag! Kann ein Administrator dies in eine Frage umwandeln oder den ersten Beitrag als ungelöst markieren?
Bei uns im Skript lautet der Satz:
Sei $ [mm] x_k [/mm] $ eine schwach konvergente Folge gegen $ [mm] x_0 [/mm] $. Dann existiert eine Folge von Konvexkombinationen $ [mm] y_l [/mm] $ mit
$ [mm] y_l [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^l \lambda_{l,i}x_i, [/mm] 0 [mm] \le \lambda_{l,i}\le [/mm] 1, [mm] \summe_{i=1}^l \lambda_{l,i} [/mm] = 1 $ und
$ [mm] y_l \to x_0 [/mm] $ für $ [mm] l\to \infty [/mm] $.
Danach habe ich eine Übung in Brézis gefunden, die eigentlich meine Frage ist:
Mann soll beweisen:
Wenn wir eine schwach konvergente Folge wie oben haben, dann gilt:
es existiert eine Folge $ [mm] y_l [/mm] $ mit
a) $ [mm] y_l \in conv(\cup_{i=l}^\infty \{x_i\}) \forall [/mm] l $ so dass $ [mm] y_l \to x_0 [/mm] $
b) $ [mm] y_l \in conv(\cup_{i=1}^l \{x_i\}) \forall [/mm] l $ so dass $ [mm] y_l \to x_0 [/mm] $
b) wäre wohl gerade meine Frage.
greetz
hula
ps: Das Buch ist das von Brézis in Kapitel 3 (Titel des Buches: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
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