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Forum "Schul-Analysis" - lim-Rechnung mit Wurzeln
lim-Rechnung mit Wurzeln < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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lim-Rechnung mit Wurzeln: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 12:34 Mi 11.02.2004
Autor: mmeixner

Hallo,

bin zum ersten Mal hier, schon lange keine Schüler mehr, aber wieder auf dem Weg, meine mathematischen Kenntnisse aufzupolieren...

(Mein erster Frageversuch wurde als Mitteilung klassifiziert, deswegen nochmal hier - sorry für die Verdoppelung)

Also: ich bräuchte eine kurze Starthilfe für:

[mm] \limes_{n \to \infty} \left( \wurzel{n^2 -1}\ - \ \wurzel{n^2+n}\ \right) [/mm]

Bis jetzt rechne ich für den linken Wurzelterm:

[mm] \limes_{n \to \infty} \left( \wurzel{n^2 -1} \right) = \limes_{n \to \infty} n\wurzel{1- \bruch{1}{n^2}} = \limes_{n \to \infty} n*1 = \infty[/mm]

Ist das korrekt? (Wahrscheinlich nicht...)

Die rechte Wurzel ist mir dann noch nicht so ganz klar...

Danke im voraus!
Michael

        
Bezug
lim-Rechnung mit Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mi 11.02.2004
Autor: Stefan

Hallo Michael (ich duze dich jetzt mal frecherweise ;-)),

erst einmal: Herzlich Willkommen im Matheraum!! :-)

mir ist die Lösung mit Hilfe des Mittelwertsatzes für differenzierbare Funktionen gelungen. Sagt dir der Mittelwertsatz etwas? Darfst du Sätze aus der Analysis verwenden?

Mit nicht-analytischen Mitteln wird es sehr, sehr schwierig... (Oder aber ich übersehe gerade eine elementare Lösung.)

Dein Lösungsansatz führt insofern nicht zum Ziel, als dass Ausdrücke wie [mm]+\infty - \infty[/mm] nicht definiert sind.

Mit dem Mittelwertsatz kommt als Grenzwert [mm]-\frac{1}{2}[/mm] heraus. Melde dich bitte, wenn du an dem Beweis mit Hilfe des Mittelwertsatzes interessiert bist (oder versuche es erst einmal selbst und poste deine komplette Rechnung hier zur Kontrolle).

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                
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lim-Rechnung mit Wurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Mi 11.02.2004
Autor: mmeixner

Hallo, danke für die rasche Antwort, und duzen ist sehr ok!
Ich hab die Aufgabe aus dem Buch "Brücken zur Mathematik" Bd. 4, und die geben da zur Grenzwertberechnung mit Wurzeln folgende Beispiele:

1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch {\wurzel{n^2+1}}{2n} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n\wurzel{1+\bruch {1}{n^2}}}{2n} = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{2n} = \bruch {1}{2} [/mm]

Das versteh ich noch ganz gut, und daher hab ich meinen Lösungsansatz.

2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{n^3+n^2}}{n^2-3n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^\bruch{3}{2}\wurzel{1+\bruch{1}{n}}}{n^2(1-\bruch{3}{n})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^\bruch{3}{2}}{n^2} = \limes_{n\rightarrow\infty}n^{-\bruch{1}{2}} = 0 [/mm]

[gutes Training im Formeltippen das, nebenbei...]

Und dann wird dazu erläutert:
"Im Radikanden einer Wurzel bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz das Verhalten für grosse n, also etwa [mm]\wurzel{n^3+n^2} \approx \wurzel{n^3} = n^\bruch{3}{2} [/mm] für grosse n."

Den ersten Teil davon versteh ich schon, aber ist das eine präzise Herleitung, oder eher so eine Hausregel?

Das mit dem Mittelwertsatz werd ich nachschlagen und probieren, und dann möcht ich gern mit deiner Lösung vergleichen.

(Hinten im Lösungsteil steht in der Tat [mm]-\bruch{1}{2}[/mm], aber ohne Herleitung.)

Danke vorerst!
Michael

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Bezug
lim-Rechnung mit Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:14 Mi 11.02.2004
Autor: Stefan

Hallo Michael,

die Beispiele sind in Ordnung, dort war die Findung des Grenzwertes aber auch (vergleichsweise) einfach.

Die Regel, die du da gefunden hast,

>  "Im Radikanden einer Wurzel bestimmt der Summand mit der
> höchsten Potenz das Verhalten für grosse n, also etwa
> [mm]\wurzel{n^3+n^2} \approx \wurzel{n^3} = n^\bruch{3}{2}[/mm] für
> grosse n."

ist eine mit Vorsicht zu genießende "Hausregel", wie du es schön formuliert hast, keine exakte mathematische Regel. Nach der Regel wäre dein ursprünglich gefragter Grenzwert ja 0. Daran sieht man schon, wie unzuverlässig solche "Regeln" bei der konkreten Berechnung von Grenzwerten sind. Was man sagen kann (und das kann man auch mathematisch sauber beweisen) ist die Tatsache, dass der Grenzwert einer rationalen Funktion (Polynom:Polynom) durch die höchsten Exponenten bestimmt ist. Aber die Sache mit der Wurzel finde ich etwas gewagt, auch wenn es in gewissen Sinne natürlich intuitiv ist.

> Das mit dem Mittelwertsatz werd ich nachschlagen und
> probieren, und dann möcht ich gern mit deiner Lösung
> vergleichen.

Ja, die Argumentation ist dann am Schluss aber vielleicht nicht ganz einfach. Melde dich bitte bei Problemen wieder...

Viele Grüße
Stefan

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lim-Rechnung mit Wurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Fr 13.02.2004
Autor: mmeixner

Zu der Aufgabe, zu der ich gefragt habe, ist mir noch ein Hinweis in dem betreffenden Buch begegnet, den ich zuerst übersehen habe (Erweiterung von [mm](\wurzel{a_n}-\wurzel{b_n})[/mm] mit [mm](\wurzel{a_n}+\wurzel{b_n})[/mm] ).

Wäre also folgende Lösung korrekt?

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n^2-1} - \wurzel{n^2+n}) =[/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(\wurzel{n^2-1} - \wurzel{n^2+n})(\wurzel{n^2-1} + \wurzel{n^2+n})}{(\wurzel{n^2-1} + \wurzel{n^2+n})} =[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2-1-n^2-n}{n\wurzel{1-\bruch{1}{n^2}} + n\wurzel{1+\bruch{1}{n}}} =[/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-n-1}{n+n} =[/mm]
[mm]= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-n}{2n} =[/mm]
[mm]= -\bruch{1}{2}[/mm]

Danke im voraus, und das hier ist eine hervorragende Einrichtung...
Michael

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Bezug
lim-Rechnung mit Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Sa 14.02.2004
Autor: Stefan

Hallo Michael,

perfekt! [ok]

Danke, das hatte ich glatt übersehen. (Peinlich...)  Ich hatte zwar auch -wie gesagt- die gleiche Lösung, aber dieser Lösunsgweg hier ist schöner, weil elementarer.

Melde dich einfach wieder bei weiteren Fragen...

Viele Grüße
Stefan

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lim-Rechnung mit Wurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:49 Sa 14.02.2004
Autor: mmeixner


> Danke, das hatte ich glatt übersehen.

Dafür bin ich jetzt mit den Mittelwertsätzen beschäftigt, und das ist es wert!

> Melde dich einfach wieder bei weiteren Fragen...

Die kommen sicher bald...würden Fragen zu komplexenZahlen und Euler-Gleichungen auch in dieses Forum hier passen (Oberstufe-Analysis)?

Bezug
                                                        
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lim-Rechnung mit Wurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 Sa 14.02.2004
Autor: Stefan

Hallo Michael,

> ...würden Fragen zu komplexenZahlen
> und Euler-Gleichungen auch in dieses Forum hier passen
> (Oberstufe-Analysis)?

Ja, auf jeden Fall!

Wir freuen uns darauf. :-)

Viele Grüße
Stefan  


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lim-Rechnung mit Wurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Sa 14.02.2004
Autor: Stefan

Hallo Michael,

Kommando zurück ;-) :

Stelle Fragen zu komplexen Zahlen bitte doch besser ins Forum "Uni-Analysis" (obwohl es manchmal auch Schulstoff ist), sonst werden hier Schülerinnen und Schüler ob des Schwierigkeitsgrades der anderen Fragen abgeschreckt.

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                                                                
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lim-Rechnung mit Wurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 Sa 14.02.2004
Autor: mmeixner


> Stelle Fragen zu komplexen Zahlen bitte doch besser ins
> Forum "Uni-Analysis" (obwohl es manchmal auch Schulstoff
> ist), sonst werden hier Schülerinnen und Schüler ob des
> Schwierigkeitsgrades der anderen Fragen abgeschreckt.

ok, dort bin ich dann sozusagen als Anfänger willkommen... :-)
also dann...

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