lim Integral von ln < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Darker |
Hi,
(limes geht gegen 0, wird von dem integral symbol verschluckt)
hänge bei folgender aufgabe fest:
Bestimmen Sie
[mm] \limes_{ \varepsilon\rightarrow\0+} \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x) dx}
[/mm]
Gehen Sie folgendermaßen vor:
1. Bestimmen Sie die Stammfunktion von (lnx+1) durch probieren.
2. Bestimmen Sie [mm] \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x)+1 dx}
[/mm]
für ein festes [mm] \varepsilon \in]0,1[ [/mm] mit ihrer Stammfunktion.
3. Bestimmen Sie von ihrem Ergebnis nun den Limes [mm] \varepsilon \rightarrow [/mm] 0+ (mit l'Hopital).
4. Nun haben Sie mit [mm] \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x)+1 dx}
[/mm]
zuviel integriert. Ziehen Sie nun [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{\varepsilon}^{1}{1 dx} [/mm] ab um zu [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x) dx} [/mm] zu kommen.
also nun geht es los...
1. Stammfunktion ist x ln(x), nach der Ableitung komme ich wieder auf ln(x)+1
2. kann ich [mm] \varepsilon=0.5 [/mm] wählen? weil [mm] \varepsilon [/mm] zwischen 0 und 1 , aber halt nicht 0 oder 1 sein darf. jedoch komme ich mit dem einsätzen der intervall grenzen nicht zurecht...
[mm] \left[ x*ln(x)
\right]_{0.5}^{1}=0-0.5*ln(0.5) [/mm] ist das so richtig ?
3. Ich soll das Ergebniss (von 2.?) benutzen um den limes zu berechen ?
also irgendwas stimmt dann mit meinem ergebniss von (2.) nicht :(
4. [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\0}\integral_{\varepsilon}^{1}{1 dx} [/mm] = [mm] \left[ x\right]_{\varepsilon}^{1}= \varepsilon-1
[/mm]
das soll wohl dann von aufgabe 3 abgezogen werden.
Habe die frage in keinem anderen Forum gestellt
cu
Darker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hi!
> Hi,
>
> (limes geht gegen 0, wird von dem integral symbol
> verschluckt)
>
> hänge bei folgender aufgabe fest:
> Bestimmen Sie
> [mm]\limes_{ \varepsilon\rightarrow\0+} \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x) dx}
[/mm]
>
> Gehen Sie folgendermaßen vor:
> 1. Bestimmen Sie die Stammfunktion von (lnx+1) durch
> probieren.
> 2. Bestimmen Sie [mm]\integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x)+1 dx}
[/mm]
>
> für ein festes [mm]\varepsilon \in]0,1[[/mm] mit ihrer
> Stammfunktion.
> 3. Bestimmen Sie von ihrem Ergebnis nun den Limes
> [mm]\varepsilon \rightarrow[/mm] 0+ (mit l'Hopital).
> 4. Nun haben Sie mit [mm]\integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x)+1 dx}
[/mm]
>
> zuviel integriert. Ziehen Sie nun
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{\varepsilon}^{1}{1 dx}[/mm]
> ab um zu [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x) dx}[/mm]
> zu kommen.
>
> also nun geht es los...
>
> 1. Stammfunktion ist x ln(x), nach der Ableitung komme ich
> wieder auf ln(x)+1
>
> 2. kann ich [mm]\varepsilon=0.5[/mm] wählen? weil [mm]\varepsilon[/mm]
> zwischen 0 und 1 , aber halt nicht 0 oder 1 sein darf.
> jedoch komme ich mit dem einsätzen der intervall grenzen
> nicht zurecht...
> [mm]\left[ x*ln(x)
\right]_{0.5}^{1}=0-0.5*ln(0.5)[/mm] ist das
> so richtig ?
So weit ich sehe, ist das so richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber das hier ist doch das Ergebnis von 2.!?
> 3. Ich soll das Ergebniss (von 2.?) benutzen um den limes
> zu berechen ?
> also irgendwas stimmt dann mit meinem ergebniss von (2.)
> nicht :(
Also, ich weiß zwar nicht, wie und warum du so weitermachen sollst, aber warum sollte da etwas nicht stimmen?
> 4.
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0}\integral_{\varepsilon}^{1}{1 dx}[/mm]
> = [mm]\left[ x\right]_{\varepsilon}^{1}= \varepsilon-1
[/mm]
> das
> soll wohl dann von aufgabe 3 abgezogen werden.
Sorry, ich hoffe, jemand anders kann dir mehr helfen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber Darker
> Hi,
>
> (limes geht gegen 0, wird von dem integral symbol
> verschluckt)
>
Ja, da hättest du vor die Null kein Backslash setzen dürfen!
> hänge bei folgender aufgabe fest:
> Bestimmen Sie
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow 0+} \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x) dx}
[/mm]
>
> Gehen Sie folgendermaßen vor:
> 1. Bestimmen Sie die Stammfunktion von (lnx+1) durch
> probieren.
> 2. Bestimmen Sie [mm]\integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x)+1 dx}
[/mm]
>
> für ein festes [mm]\varepsilon \in]0,1[[/mm] mit ihrer
> Stammfunktion.
> 3. Bestimmen Sie von ihrem Ergebnis nun den Limes
> [mm]\varepsilon \rightarrow[/mm] 0+ (mit l'Hopital).
> 4. Nun haben Sie mit [mm]\integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x)+1 dx}
[/mm]
>
> zuviel integriert. Ziehen Sie nun
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{\varepsilon}^{1}{1 dx}[/mm]
> ab um zu [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0} \integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x) dx}[/mm]
> zu kommen.
>
> also nun geht es los...
>
> 1. Stammfunktion ist x ln(x), nach der Ableitung komme ich
> wieder auf ln(x)+1
>
> 2. kann ich [mm]\varepsilon=0.5[/mm] wählen? weil [mm]\varepsilon[/mm]
> zwischen 0 und 1 , aber halt nicht 0 oder 1 sein darf.
> jedoch komme ich mit dem einsätzen der intervall grenzen
> nicht zurecht...
> [mm]\left[ x*ln(x)
\right]_{0.5}^{1}=0-0.5*ln(0.5)[/mm] ist das
> so richtig ?
>
Das Einsetzen hast du ja prima hingekriegt!
Ich würde nicht $0.5_$ wählen, sondern einfach die Bezeichnung [mm] $\varepsilon$ [/mm] stehen lassen. Es wird dann einfacher, wieder eine Formulierung mit Limes zu finden.
Dann erhältst du [mm] $-\varepsilon*\ln(\varepsilon); \, [/mm] 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1$
> 3. Ich soll das Ergebniss (von 2.?) benutzen um den limes
> zu berechen ?
> also irgendwas stimmt dann mit meinem ergebniss von (2.)
> nicht :(
>
Ja, mit $0.5_$ wird das tatsächlich etwas tricki. Mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] ists dann nicht mehr so schwer:
[mm] $\lim_{\varepsilon\to 0} -\varepsilon*\ln(\varepsilon)$
[/mm]
Und noch: um die Regel von De l' Hôpital anwenden zu können, musst du halt [mm] $-\varepsilon*\ln(\varepsilon)$ [/mm] umformen zu
[mm] $\bruch{\ln(\varepsilon)}{-\bruch{1}{\varepsilon}}$
[/mm]
> 4.
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\0}\integral_{\varepsilon}^{1}{1 dx}[/mm]
> = [mm]\left[ x\right]_{\varepsilon}^{1}= \varepsilon-1
[/mm]
Ich weiss nicht, aber nach mir gäbe das eher [mm] $1-\varepsilon$
[/mm]
(Obere Grenze minus untere Grenze)
> das
> soll wohl dann von aufgabe 3 abgezogen werden.
>
Ja, dass solls dann!
Ich hoffe, du kommst jetzt selber wieder weiter! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Darker |
hi,
vielen dank für die antwort.
>Ja, da hättest du vor die Null kein Backslash setzen dürfen!
danke für den hinweiss.
bei l' Hôpital bin ich mir noch nicht so sicher, aber ich versuch es mal
[mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow0} \bruch{ln(\varepsilon)}{\bruch{-1}{\varepsilon}}=\bruch{0}{0} [/mm]
also die erste ableitung versuchen
[mm] \bruch{\bruch{1}{\varepsilon}}{\bruch{-1}{\varepsilon^{2}}}
[/mm]
vereinfachen
[mm] \bruch{1-\varepsilon^{2}}{\varepsilon}
[/mm]
und dann erweitern mit [mm] \varepsilon^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}*\varepsilon^{2}=2
[/mm]
also ist das ergebniss von aufgabe 4
[mm] 2-1-\varepsilon=1-\varepsilon [/mm]
und da [mm] \varepsilon\to0 [/mm] ist [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow0}\integral_{\varepsilon}^{1}{ln(x) dx}=1?
[/mm]
cu
Darker
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