lim a+b \leq limsup a+liminf b < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 12.01.2006 | | Autor: | Master_X |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe einen Beweis, in dem der folgende Schritt verwendet wird:
Wenn der Grenzwert der Folge [mm] a_{n}+b_{n} [/mm] existiert gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n} [/mm] ) [mm] \leq (\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_{n})+ (\limes_{n\rightarrow\infty}inf b_{n}) [/mm] (soll limes superior und limes inferior heißen)
Nun versteh ich nicht, wie der limes inf da hinein kommt?
Eine Erklärung mit den Definitionen ist nicht nötig, es reicht für mich das Verständnis.
Danke
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Hallo und guten Morgen,
wenn beide Folgen konvergieren, ist es klar, oder ? Dann sind jeweils Limes, Lim Sup und
Lim Inf identisch.
Allgemein: Ich denke, wir koennen uns auf die Betrachtung des Falls
[mm] \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=0 [/mm] beschraenken, sonst verschiebt sich halt noch alles um den Grenzwert L.
Wenn Limes Superior von [mm] a_n [/mm] gleich [mm] \infty [/mm] ist, so muss Limes Inferior von [mm] b_n [/mm] = [mm] -\infty [/mm] sein,
und fuer diesen Fall sollte die Aussage dann einfach keinen Sinn machen, da die rechte Seite der Ungl. nicht ordentlich definiert ist.
Andernfalls ist Lim Sup von [mm] a_n [/mm] eine Zahl A, und dann muss doch lim Inf von [mm] b_n [/mm] gleich
-A sein (bzw L-A im allgemeinen Fall).
Hoffe, es stimmt.
Gruss,
Mathias
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