lim a_{n+1}/(a_n)^Phi = 1 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Mo 05.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
hier mal eine eigenartige Entdeckung, die ich nur experimentell-empirisch belegen, aber nicht beweisen kann. Hat jemand eine Idee, wie man das überhaupt angehen könnte?
Gegeben seien [mm] a_0, a_1\in\IR [/mm] mit [mm] a_0, a_1>0.
[/mm]
Für n>1 sei nun eine Folge definiert mit
[mm] a_n=a_{n-1}*a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n-2}
[/mm]
oder [mm] a_n=(a_{n-1}+1)(a_{n-2}+1)
[/mm]
Für beide Definitionen (die sich ja pro [mm] a_n [/mm] nur um 1 unterscheiden) gilt nun:
[mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{a_{n+1}}{{a_{n}}^\phi}=1
[/mm]
...natürlich mit dem goldenen Schnitt [mm] $\phi=\bruch{\wurzel{5}+1}{2}$.
[/mm]
Die Konvergenz ist übrigens erstens alternierend und zweitens ziemlich schnell.
Ich habe keine Ahnung, wie ich das angehen könnte. Was macht der goldene Schnitt hier? Kommt der immer vor, wenn eine Folge "doppelrekursiv" definiert ist? Und wieso taucht er hier als Exponent auf? Das kenne ich noch nicht.
Schonmal vielen Dank für Euer Hirnschmalz. Meins scheint hier schon aufgebraucht zu sein. Will heißen: nein, ich habe überhaupt keinen eigenen Lösungsansatz, sondern staune nur über die Beobachtung.
Herzliche Grüße
reverend
PS: Das klappt übrigens auch für beliebige [mm] a_0, a_1. [/mm] Es kann nur sein, dass einige der ersten paar Quotienten dann nicht definiert sind. Ab einem gewissen [mm] n_0 [/mm] klappts dann aber und konvergiert nach wie vor gegen 1.
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Ein heuristisches Vorgehen. Ich nehme einmal die zweite Rekursion:
[mm]a_n = \left( a_{n-1} + 1 \right) \left( a_{n-2} + 1 \right)[/mm]
[mm]a_n \to \infty \ \ \mbox{für} \ \ n \to \infty[/mm]
Jetzt setze man
[mm]b_n = \ln \left( 1 + a_n \right)[/mm]
Dann entsteht durch Logarithmieren der Rekursionsbeziehung:
[mm]\ln \left( \operatorname{e}^{b_n} - 1 \right) = b_{n-1} + b_{n-2}[/mm]
Von jetzt ab setzen wir [mm]n[/mm] groß voraus. Dann ist die linke Seite [mm]\approx b_n[/mm], so daß man approximativ die Fibonacci-Rekursion erhält:
[mm]b_n \approx b_{n-1} + b_{n-2}[/mm]
Es folgt:
[mm]\frac{b_{n+1}}{b_n} \approx \varphi[/mm]
[mm]b_{n+1} \approx \varphi \cdot b_n[/mm]
Anwenden der Exponentialfunktion:
[mm]1 + a_{n+1} \approx \left( 1 + a_n \right)^{\varphi}[/mm]
Mittels Division durch [mm]{a_n}^{\varphi}[/mm] bekommt man:
[mm]\underbrace{\frac{1}{{a_n}^{\varphi}}}_{\approx 0} + \frac{a_{n+1}}{{a_n}^{\varphi}} \approx \underbrace{\left( 1 + \frac{1}{a_n} \right)^{\varphi}}_{\approx 1}[/mm]
[mm]\frac{a_{n+1}}{{a_n}^{\varphi}} \approx 1[/mm]
Es müßte möglich sein, aus dieser heuristischen Argumentation einen sauberen Beweis zu basteln.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mo 05.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Leopold_Gast,
gute Idee!
Das sieht in der Tat so aus, als müsste man mit ein paar Grenzprozessen auf einen sauberen Beweis kommen können.
Ob ich das allerdings auch selbst gefunden hätte, möchte ich nach wie vor bezweifeln...
Vielen Dank! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
reverend
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