lim mit Resttermabschätzung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | Beweisen sie mit der Resttermabschätzung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{exp(x)-1}{x} [/mm] =1 |
Hallo,
ich hab die Aufgabe eigentlich durchgerechnet,aber irgendwo ist der wurm drin....kann mir jemand sagen wo??
Hier meine Rechnung:
Vor: O.E IxI < 1 . Es gilt mit N=0 [mm] exp(x)=1+r_{3} [/mm] (Kommt von [mm] \summe_{n=0}^{N}\bruch{x^n}{n!}+r_{N+1}(x) [/mm] = exp(x))
wobei [mm] Ir_{1}(x)I \le 2\bruch{IxI}{1} [/mm] = 2IxI (kommt von N=0 für [mm] Ir_{N+1}(x)I \le 2\bruch{IxI^N^+^1}{(N+1)!} [/mm] )
Soweit noch ok??
Dann habe ich weiter:
Iexp(x)-1I= [mm] r_{1}(x) \le [/mm] 2IxI
das ganze mal 1/IxI-->
[mm] |\bruch{exp(x)-1}{x}| \le [/mm] 2
hmmm...wo ist mein Fehler???
Danke
Nerix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Di 25.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
1. Könntest Du bitte, bitte, bitte das | für den Betrag verwenden? Das Teil ist aus gutem Grund auf Deiner Tastatur, das I (wie auch l, / und \ ) ist eine Krankheit, vor allem weil es der 1 zu ähnlich ist.
2.
$ [mm] |\bruch{\exp(x)-1}{x}| \le [/mm] 2 $
Geht doch.
Die Abschätzung stimmt auch. Sie ist nur nicht scharf genug. Wie könnte man nun ein kleineres Restglied kriegen?
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:58 Di 25.01.2011 | | Autor: | Nerix |
He,
1. Sorry wegen dem Betrag,dachte das wird umgewandelt! Wird in Zukunft rixhtig verwendet werden 
2. Ok,dachte ich hab mich verrrechnet. Nun man könnte ein anderes N als 0 wählen,oder? vielleicht 1?
Grüße
Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 25.01.2011 | | Autor: | Nerix |
hey,
für N=1 komme ich auf:
|exp(x) -x| = [mm] r_{2}(x) \le \bruch{|x|^2}{2}
[/mm]
Aber jetzt stecke ich fest....die rechts seite geht zwar gegen 0, doch damit hab ich ja nur |exp(x) -x| näher bestimmt und nicht [mm] \bruch{exp(x)-1}{x}....
[/mm]
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Du sollst doch zeigen:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{exp(x)-1}{x} [/mm] $ =1
Dann brauchst Du doch eine Abschätzung für
$ [mm] |\bruch{exp(x)-1}{x} [/mm] -1|$
und nicht für
[mm] $|\bruch{exp(x)-1}{x} [/mm] |$
!!!!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 25.01.2011 | | Autor: | Nerix |
Ah,
stimmt! Aber durch einsetzten komm ich hald mal nur auf |exp(x)-x| [mm] \le \bruch{|x|^2}{2}
[/mm]
wie muss ich jetzt weiter rechnen???
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich verwende mal Deine Bezeichnungen:
Es gilt:
[mm] $exp(x)=1+x+r_2(x)$,
[/mm]
also
$exp(x)-1= [mm] x+r_2(x)$,
[/mm]
somit
[mm] $\bruch{exp(x)-1}{x}= 1+r_2(x)/x$.
[/mm]
Damit hast Du:
[mm] $|\bruch{exp(x)-1}{x}-1|=|r_2(x)/x|$.
[/mm]
Nun schau Dir mal [mm] r_2(x) [/mm] an.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 25.01.2011 | | Autor: | Nerix |
> Ich verwende mal Deine Bezeichnungen:
>
> Es gilt:
>
> [mm]exp(x)=1+x+r_2(x)[/mm],
Wie kommst du auf die 1 auf der rechten Seite??????ich komme nämlich nur auf [mm] exp(x)=x+r_2(x)
[/mm]
> also
>
> [mm]exp(x)-1= x+r_2(x)[/mm],
>
> somit
>
> [mm]\bruch{exp(x)-1}{x}= 1+r_2(x)/x[/mm].
>
> Damit hast Du:
>
> [mm]|\bruch{exp(x)-1}{x}-1|=|r_2(x)/x|[/mm].
>
> Nun schau Dir mal [mm]r_2(x)[/mm] an.
>
[mm] ja,r_2(x) [/mm] geht noch 0 für [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}
[/mm]
>
> FRED
Nerix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Di 25.01.2011 | | Autor: | Nerix |
Ah, erstes Summenglied für N=0 --> 1 vergessen!!!!Jetzt hab ichs...dann gehts auch auf!!!! Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ah, erstes Summenglied für N=0 --> 1 vergessen!!!!Jetzt
> hab ichs...dann gehts auch auf!!!! Danke
Dann stelle Deine letzt Frage auf "beantwortet
FRED
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Hallo,
> > Ich verwende mal Deine Bezeichnungen:
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]exp(x)=1+x+r_2(x)[/mm],
> Wie kommst du auf die 1 auf der rechten Seite??????ich
> komme nämlich nur auf [mm]exp(x)=x+r_2(x)[/mm]
Taylorreihe für [mm]\exp(x)[/mm]
[mm]\exp(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot{}x^k=1+x+\frac{1}{2}x^2+\ldots[/mm]
Nach dem 2-ten Glied abbrechend dann [mm]\exp(x)=1+x+r_2(x)[/mm] ...
> Nerix
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:24 Mi 26.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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