lim sup beschränkter Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 So 18.11.2012 | | Autor: | maqio |
| Aufgabe | Seien [mm] (x_n)_n\in [/mm] N , [mm] (y_n)_n\in [/mm] N beschränkte Folgen in R. Zeigen Sie
a) [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} (x_n [/mm] + [mm] y_n) \le \limes sup_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] + [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} y_n
[/mm]
b)Gilt in Aufgabenteil a) sogar Gleichheit? |
Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aussage beweisen soll...Dazu kommt, dass ich die Vorlesung in der limes superior behandelt wurde nacharbeiten musste und deshalb kaum verstanden habe...
Könnte mir jemand den Beweis erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:43 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm](x_n)_n\in[/mm] N , [mm](y_n)_n\in[/mm] N beschränkte Folgen in R.
> Zeigen Sie
> a) [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} (x_n[/mm] + [mm]y_n) \le \limes sup_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> + [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm]
>
> Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aussage beweisen
> soll...Dazu kommt, dass ich die Vorlesung in der limes
> superior behandelt wurde nacharbeiten musste und deshalb
> kaum verstanden habe...
> Könnte mir jemand den Beweis erklären?
man vergesse das ganze - siehe Freds Hinweis!
na, das ist weniger schwer als es aussieht (ich schreibe kurz [mm] $\limsup:=\limsup_{n \to \infty}$):
[/mm]
Sei [mm] $X:=\limsup x_n$ [/mm] und [mm] $Y:=\limsup y_n\,.$ [/mm] Dann gilt $X [mm] \ge x_n$ [/mm] und
auch $Y [mm] \ge y_n$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Deswegen ist [mm] $X+Y\,$ [/mm] eine obere Schranke
für die Folge [mm] $(x_n+y_n)_n$ [/mm] (beweise bitte mal diese Aussage - das ist so
einfach zu beweisen, dass man höchstens dran zweifeln wird, dass der
Beweis stimmt, weil der Beweis eben so einfach und kurz ist - oben steht
eigentlich auch schon alles, nur eine Zeile könnte/sollte man ergänzen!)
d.h. es ist
$$X+Y [mm] \ge \limsup (x_n+y_n)\,,$$
[/mm]
weil ja [mm] $\limsup (x_n+y_n)$ [/mm] die KLEINSTE obere Schranke für die Folge
[mm] $(x_n+y_n)_n$ [/mm] ist.
Weil [mm] $X=\limsup x_n$ [/mm] gilt, gibt es eine streng wachsende Folge natürlicher
Zahlen [mm] $(n_k)_k$ [/mm] so, dass [mm] $x_{n_k} \to X\,$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty\,.$ [/mm]
(Ich hoffe, ihr hattet einen entsprechenden Satz - ansonsten müßte ich
Eure Definition des Limsup sehen. Da gibt's auch sowas wie: Für alle
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und alle $N [mm] \in \IN$ [/mm] existiert ein $n [mm] \ge [/mm] N$ so, dass [mm] $x_n \ge X-\epsilon\,.$ [/mm]
Anders gesagt: Unendlich viele Folgenglieder sollen in der
abgeschlossenen [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] von [mm] $X\,$ [/mm] liegen - und weil alle
Folgenglieder [mm] $\le [/mm] X$ sein müssen, "müssen die dann eh unterhalb von
[mm] $X\,$ [/mm] liegen, können also nur im Bereich [mm] $[X-\epsilon,X]$ [/mm] zu suchen sein!")
Und wenn man nun die Gleichheit zeigen wollte, würde man versuchen,
eine Teilfolge [mm] $(n_{k_\ell})_\ell$ [/mm] von [mm] $(n_k)_k$ [/mm] so anzugeben, dass man
auch [mm] $y_{n_{k_\ell}} \to [/mm] Y$ [mm] ($\ell \to \infty$) [/mm] folgern könnte - und das
wird eben im Allgemeinen nicht gehen.
Daher zu der Frage, ob auch Gleichheit gilt: Ich denke, dass die mit NEIN
zu beantworten ist. Aber vielleicht bastelst Du da selbst mal ein Beispiel...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:31 Mo 19.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> > Seien [mm](x_n)_n\in[/mm] N , [mm](y_n)_n\in[/mm] N beschränkte Folgen in R.
> > Zeigen Sie
> > a) [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} (x_n[/mm] + [mm]y_n) \le \limes sup_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > + [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm]
> >
> > Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aussage beweisen
> > soll...Dazu kommt, dass ich die Vorlesung in der limes
> > superior behandelt wurde nacharbeiten musste und deshalb
> > kaum verstanden habe...
> > Könnte mir jemand den Beweis erklären?
>
> na, das ist weniger schwer als es aussieht (ich schreibe
> kurz [mm]\limsup:=\limsup_{n \to \infty}[/mm]):
> Sei [mm]X:=\limsup x_n[/mm]
> und [mm]Y:=\limsup y_n\,.[/mm] Dann gilt [mm]X \ge x_n[/mm] und
> auch [mm]Y \ge y_n[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm] Deswegen ist [mm]X+Y\,[/mm] eine obere
> Schranke
> für die Folge [mm](x_n+y_n)_n[/mm] (beweise bitte mal diese
> Aussage - das ist so
> einfach zu beweisen, dass man höchstens dran zweifeln
> wird, dass der
> Beweis stimmt, weil der Beweis eben so einfach und kurz ist
> - oben steht
> eigentlich auch schon alles, nur eine Zeile könnte/sollte
> man ergänzen!)
> d.h. es ist
> [mm]X+Y \ge \limsup (x_n+y_n)\,,[/mm]
> weil ja [mm]\limsup (x_n+y_n)[/mm]
> die KLEINSTE obere Schranke für die Folge
> [mm](x_n+y_n)_n[/mm] ist.
>
> Weil [mm]X=\limsup x_n[/mm] gilt, gibt es eine streng wachsende
> Folge natürlicher
> Zahlen [mm](n_k)_k[/mm] so, dass [mm]x_{n_k} \to X\,[/mm] bei [mm]k \to \infty\,.[/mm]
> (Ich hoffe, ihr hattet einen entsprechenden Satz -
> ansonsten müßte ich
> Eure Definition des Limsup sehen. Da gibt's auch sowas wie:
> Für alle
> [mm]\epsilon > 0[/mm] und alle [mm]N \in \IN[/mm] existiert ein [mm]n \ge N[/mm] so,
> dass [mm]x_n \ge X-\epsilon\,.[/mm]
> Anders gesagt: Unendlich viele Folgenglieder sollen in der
> abgeschlossenen [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung von [mm]X\,[/mm] liegen - und weil
> alle
> Folgenglieder [mm]\le X[/mm] sein müssen, "müssen die dann eh
> unterhalb von
> [mm]X\,[/mm] liegen, können also nur im Bereich [mm][X-\epsilon,X][/mm] zu
> suchen sein!")
> Und wenn man nun die Gleichheit zeigen wollte, würde man
> versuchen,
> eine Teilfolge [mm](n_{k_\ell})_\ell[/mm] von [mm](n_k)_k[/mm] so anzugeben,
> dass man
> auch [mm]y_{n_{k_\ell}} \to Y[/mm] ([mm]\ell \to \infty[/mm]) folgern
> könnte - und das
> wird eben im Allgemeinen nicht gehen.
>
> Daher zu der Frage, ob auch Gleichheit gilt: Ich denke,
> dass die mit NEIN
> zu beantworten ist. Aber vielleicht bastelst Du da selbst
> mal ein Beispiel...
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
Deinen Ausführungen muß ich widersprechen.
Ist [mm] (x_n) [/mm] eine beschränkte Folge, so ist i.a.
sup [mm] \{x_n: n \in \IN\} \ne [/mm] lim sup [mm] x_n.
[/mm]
Du hast das Supremum der Wertemenge verwechselt mit dem Limes superior.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Hallo Marcel,
>
> Deinen Ausführungen muß ich widersprechen.
>
>
> Ist [mm](x_n)[/mm] eine beschränkte Folge, so ist i.a.
>
> sup [mm]\{x_n: n \in \IN\} \ne[/mm] lim sup [mm]x_n.[/mm]
>
> Du hast das Supremum der Wertemenge verwechselt mit dem
> Limes superior.
öhm ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") (So spät war's doch noch gar nicht...)
Stimmt. Dann mal auf ein Neues...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm](x_n)_n\in[/mm] N , [mm](y_n)_n\in[/mm] N beschränkte Folgen in R.
> Zeigen Sie
> a) [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} (x_n[/mm] + [mm]y_n) \le \limes sup_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> + [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm]
>
> b)Gilt in Aufgabenteil a) sogar Gleichheit?
> Ich habe keine Ahnung wie ich diese Aussage beweisen
> soll...Dazu kommt, dass ich die Vorlesung in der limes
> superior behandelt wurde nacharbeiten musste und deshalb
> kaum verstanden habe...
> Könnte mir jemand den Beweis erklären?
also auf ein Neues:
Sei [mm] $X:=\limsup x_n$ [/mm] und [mm] $Y:=\limsup y_n\,.$ [/mm] Wir verwenden ![[]](/images/popup.gif) Satz 5.20.
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Eine kleine Überlegung mit dem Satz zeigt:
Es existiert sicher ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass sowohl [mm] $x_n \le X+\epsilon/2$ [/mm] als auch [mm] $y_n \le Y+\epsilon/2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,$ [/mm] gilt.
Also folgt [mm] $x_n+y_n \le X+Y+\epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Wir setzen [mm] $S_n:=\sup\{x_k+y_k: k \ge n\}\,.$ [/mm] Nach Definition 5.18
ist dann [mm] $\lim_{n \to \infty}S_n$ [/mm] (warum der existiert, steht bei der
Definition dabei) gerade [mm] $=\limsup_{n \to \infty} (x_n+y_n)\,.$
[/mm]
Aus obigem folgt dann aber:
Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass
[mm] $$S_n \le X+Y+\epsilon$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Dann ergibt sich aber: Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gilt
[mm] $$\lim_{n \to \infty} S_n \le X+Y+\epsilon\,.$$
[/mm]
Also [mm] $\lim_{n \to \infty} S_n \le X+Y\,,$ [/mm] was zu zeigen war.
(Wobei ich hier irgendwie an ein oder zwei Stellen zu sehr um die Ecke
gedacht habe - jedenfalls habe ich gerade selbst diesen Eindruck!)
Gruß,
Marcel
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