lim x->0 sin 1/x < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
also ich habe hier eine aufgabe vor mir zu liegen, die sich auf die funktion h bezieht, die für x=0 h(0)= 0 und ansonsten h(x)= x* sin( 1/x) hat.
nun habe ich bereits gezeigt, dass h in x=0 stetig ist. nun ist die frage, ob h differenzierbar ist, noch zu zeigen.
also für alle x [mm] \not= [/mm] 0 kann ich h ja ableiten (habe einfach die ableitung aufgeschrieben) und daher ist es dort auch differenzierbar. (ist diese begründung so in ordnung?)
Aber für x=0 bin ich nocht nicht wirklich zu einem schluss gekommen, denn es gilt ja, dass h in 0 differenzierbar ist, wenn :
h'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] h(x) / x existiert.
nun gilt j gerade, dass h(x)/x = sin (1/x)
aber ich weiß nicht, ob der grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] sin (1/x) existiert, den wir haben sonst an diesen stellen immer für x null eingesetzt und dann war das halt der grenzwert, nur das geht ja hier nicht... und wie ich es umformen soll, damit x nicht mehr im nennen steht, weiß ich auch nicht...
kann mir hier jemand weiterhelfen?
vielen dank im voraus, die_conny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Di 22.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie hast du das mit der Stetigkeit gemacht?
wie ist das mit sin1/x? wenn sich x 0 nähert springt sin1/x beliebig oft zwischen -1 und +1 hin und her, d.h. wenn du [mm] \delta [/mm] x noch so klein machst wird der unterschied der Fktswerte immer noch groß sein!
Gruss leduart
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das mit der stetigkeit sollten wie ja für h machen, also für x*sin x und das habe ich mit der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - definition gemacht und wenn [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] ´geht das ganz einfach.
aber wie gesagt, mit der differenzierbarkeit für x=0 haperts nocht. also heißt das, dass wenn die funktionswerte zwischen 1 und -1 hin und her springen, d.h., dass dann keine grenze existiert?
danke schonmal!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Di 22.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm doch mal [mm] x_n [/mm] gegen 0 [mm] x_n=\bruch{2}{(2n+1)*\pi}
[/mm]
wogegen konvergiert oder divergiert dann [mm] sin(1/x_n)
[/mm]
Gruss leduart
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dankeschön! also ich habe es jetzt so gemacht, dass ich 2 nullfolgen genommen habe, und wenn ich diese aber für xn einsetze, erhalte ich unterschiedliche grenzwerte. somit kann sin 1/x nicht konvergent sein.
für diese folge xn, die du genannt hast, konvergiert das ganze gegen null. ich habe die folgen
xn = 1/ (k*pi) und zn = 1/ ((k* pi) +1) genommen. sin 1/zn
kann nie gegen 0 konvergieren, sin 1/xn konvergiert aber gegen 0.
ist das so in ordnung?
vielen dank, die_conny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Di 22.01.2008 | | Autor: | die_conny |
sorry, hatte aus versehen auf mittelung geklickt... habe ich das mit diesen 2 folgen, die ich erleutert habe, also xn und zn, so richtig gemacht?
vielen dank, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Di 22.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja deine Folgen sind ein Beweis, dass kein GW existiert, ich hatte ne 2 bei mit vergessen, sorry, ich habs verbessert, und man sieht einfacher, dass [mm] sin1/x_n=(-1)^n [/mm] also divergent ist.
Gruss leduart
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