limes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 So 23.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | [mm] \lim_{n \to \infty } 3^{-n} (2^n [/mm] + [mm] (-2)^n) [/mm] |
Wie komme ich hier auf den Grenzwert? Kann man einfach annehmen, dass der erste Faktor gegen strebt und die anderen deswegen auch? Ich weiß nämlich nicht, wie ich mit der (-2) umgehen muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Thomas,
> [mm]\lim_{n \to \infty } 3^{-n} (2^n[/mm] + [mm](-2)^n)[/mm]
> Wie komme ich hier auf den Grenzwert? Kann man einfach
> annehmen, dass der erste Faktor gegen strebt und die
> anderen deswegen auch? Ich weiß nämlich nicht, wie ich mit
> der (-2) umgehen muss.
Umschreiben und ausklammern ist immer eine gute Möglichkeit:
[mm] $3^{-n}(2^n+(-2)^n)=\frac{2^n+(-1)^n\cdot{}2^n}{3^n}=\frac{2^n\cdot{}(1+(-1)^n)}{3^n}=\left(\frac{2}{3}\right)^n\cdot{}(1+(-1)^n)$
[/mm]
Was passiert hier nun für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
Untersuche n gerade und n ungerade mal getrennt, was fällt auf?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 23.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
bei ungeraden zahlen wird der zweite faktor immer 0, also strebt es bei ungeraden gegen null.
bei gerade zahlen würde der erste faktor gegen 0 streben und dann eben noch mal zwei multipliziert werden, was aber nicht mehr wichtig ist.
ist das richtig so?
das wäre trotz zwei verschiedenen fälle konvergent, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> bei ungeraden zahlen wird der zweite faktor immer 0, also
> strebt es bei ungeraden gegen null.
> bei gerade zahlen würde der erste faktor gegen 0 streben
> und dann eben noch mal zwei multipliziert werden, was aber
> nicht mehr wichtig ist.
> ist das richtig so? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das wäre trotz zwei verschiedenen fälle konvergent, oder?
Ja klar, das ist ja hier eine alternierende Nullfolge, die immer zwischen 0 und einem immer kleiner werdenden Wert oberhalb von 0 hin- und herhüppelt
Irgendwann kommt die von oben kommende Teilfolge ja beliebig nahe heran an 0, also näher als ein beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 So 23.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | $ [mm] \lim_{n \to \infty } \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
Wie gehe ich hier vor?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 So 23.11.2008 | | Autor: | janmoda |
Hallo,
Bei sehr großen Weerten für n ist der Zusatz +1 unter der ersten Wurzel zu vernachlässigen. Bei n [mm] \to \infty [/mm] nähert sich der Term also der 0 aus dem positiven WErtebereich kommend an.
Gruß janmoda
|
|
|
| |
|
Halo Thomas,
mathematisch gehst du so vor wie immer bei Summen und Differenzen von Wurzeln:
So erweitern, dass du die 3.binomische Formel hinbekommst und die Wurzelausdrücke wegbekommst:
Also [mm] $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\blue{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
[/mm]
Und das strebt nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
