limes hilfe grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Sa 08.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | Sei x element R und k Element N, berechne den Grenzwet der Folge
[mm] a_{n} [/mm] = n ((a + [mm] 1/n)^{k} [/mm] - [mm] a^{k}) [/mm] |
also ich steh bei grenzwerten total auf der leitung, kann mir jemand helfen, ich check das überhaupt nicht!!
danke
was soll ich allgemein tun, um die grenzwerte zu checken???
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> Sei x element R und k Element N, berechne den Grenzwet der
> Folge
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> [mm]a_{n}[/mm] = n ((a + [mm]1/n)^{k}[/mm] - [mm]a^{k})[/mm]
> also ich steh bei grenzwerten total auf der leitung, kann
> mir jemand helfen, ich check das überhaupt nicht!!
>
> danke
>
> was soll ich allgemein tun, um die grenzwerte zu
> checken???
Hallo,
vorweg etwas anderes: Du hast jetzt bereits zum 212. Mal bei uns gepostet, und ich bitte Dich, in Zukunft den Formeleditor zu verwenden, Eingabehilfen finden sich unterhalb des Eingabefensters.
Es dürften fast alle Sonderzeichen, die Du in nächster Zeit benötigst, machbar sein. Jedenfalls gibt es keinen Grund auf [mm] \in [/mm] , [mm] \IN [/mm] , [mm] \IR [/mm] zu verzichten.
"Vorschau" liefert eine Voransicht des Artikels.
Zu Deiner Aufgabe:
Leider sagst Du nicht, woran es hängt, unter "check" das nicht kann sich vieles verbergen.
Ein Problem bei der vorliegenden Aufgabe könnten die vielen Buchstaben sein - mit "x" meinst Du sicher "a".
Dieses a und k sind fest! Zwar unbekannt und beliebig, aber fest.
Vielleicht versuchst Du die Aufgabe erstmal für a=5 und k=7 zu lösen, um etwas Überblick zu gewinnen.
Ich könnte mir vorstellen, daß man den binomischen Lehrsatz hier mit Gewinn verwenden könnte.
Leg' mal los und zeig, wie weit Du kommst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Sa 08.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
also genau steht die rechnung so da
[mm] a_{n} [/mm] = n [mm] ((\alpha [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})^{k} [/mm] - [mm] \alpha^{k})
[/mm]
also alpha, das irritiert mich schon!
okay mit dem binomischen lehrsatz komme ich jetzt auf
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \alpha^{n-k} (\bruch{1}{n})^{k}
[/mm]
jetzt stehe ich schon wieder an
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> also genau steht die rechnung so da
Hallo,
daran hatte ich keine Zweifel. Es ging mir darum, daß auch [mm] \in [/mm] - Zeichen u.v.m. vorrätig sind, welche Texte doch angenehmer lesbar machen.
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> [mm]a_{n}[/mm] = n [mm]((\alpha[/mm] + [mm]\bruch{1}{n})^{k}[/mm] - [mm]\alpha^{k})[/mm]
>
>
>
> also alpha, das irritiert mich schon!
Ich hatte doch gesagt: das ist eine feste Zahl.
Warum machst Du es denn nicht mal mit a=5 und k=7 ?
> okay mit dem binomischen lehrsatz komme ich jetzt auf
>
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \alpha^{n-k} (\bruch{1}{n})^{k}[/mm]
Nein.
Guck Dir genau an, wie [mm] a_n [/mm] definiert ist.
Mit dem binomischen Lehrsatz hast Du [mm] a_n=n* (\summe_{i=0}^{k}\vektor{k \\ i} \alpha^{k-i} (\bruch{1}{n})^{i} [/mm] - [mm] \alpha^k)
[/mm]
Nun könntest Du die Summe ausschreiben. (Du mußt Dich auch mal trauen, ein bißchen allein weiterzumachen.
Irrwege und Stapel von beschriebenem Papier und verbrauchter Zeit gehören dazu - das von vornherein zu vermeiden, behindert den Lernprozeß in höchstem Maße.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Herk |
Also ich kenne mich mit Grenzwert, Limes, Folgen, Reihen.... auch nicht aus.
Habe leider nur Berufsreifeprüfung gemacht zur zulassung zum Studium und da wurde das nicht behandelt.
Was ich inzwischen rausgefunden habe ist, dass wenn ich n gegen unendlich gehen lasse, die Folge gegen Null geht.
Mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(an) [/mm] = n* [mm] \alpha^{k}+1/n^{k} [/mm] - n* [mm] \alpha^{k} \Rightarrow [/mm]
für [mm] n->\infty [/mm] wird [mm] 1/n^{k}=0 [/mm] und [mm] \infty [/mm] * [mm] \alpha [/mm] - [mm] \infty* \alpha [/mm] =0
Somit ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (an) = 0.
Meine Frage: ist damit die Aufgabe erledigt, muss ich bestimmte Werte finden an denen fie Folge "sesshaft" wird oder fehlt noch irgendwas, stimmts überhaupt? :8)
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> Was ich inzwischen rausgefunden habe ist, dass wenn ich n
> gegen unendlich gehen lasse, die Folge gegen Null geht.
> Mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(an)[/mm] = n* [mm]\alpha^{k}+1/n^{k}[/mm] - [mm] n*\alpha^{k} [/mm]
Hallo,
das ist jetzt aber eine andere Folge als die, die die Kommilitonin gepostet hatte.
Dort stand $ [mm] a_{n} [/mm] $ = n ((a + $ [mm] 1/n)^{k} [/mm] $ - $ [mm] a^{k}) [/mm] $.
Vielleicht sollten wir erstmal klären, über welche Folge wir reden.
> [mm] \Rightarrow
[/mm]
> für [mm]n->\infty[/mm] wird [mm]1/n^{k}=0[/mm]
Ja, dieses Teilergebnis ist sicher richtig.
und [mm]\infty[/mm] * [mm]\alpha[/mm] - [mm]\infty* \alpha[/mm] =0
Hmm - hier lauert eine riesengroße Gefahr: was [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] ist, weiß man nicht.
Da kann alles mögliche herauskommen.
Allerdings ist natürlich n*a - n*a=0.
Falls es allerdings um die Folge der Kommilitonin geht, beachte, daß [mm] (a+1/n)^k\not= a^k [/mm] + [mm] (1/n)^k, [/mm] und verwende den binomischen Satz.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 So 09.11.2008 | | Autor: | Herk |
Naja.. ich dachte 1/n könnte man gegen Null gehen lassen und dann ausmultiplizieren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Herk!
Das geht so nicht. du kannst nicht erst für einen Teil der Folge eine Grenzwertbetrachtung durchführen und anschließend weiterrechnen.
Auf die Gefahren von unbestimmten Ausdrücken wie z.B. [mm] $\infty-\infty$ [/mm] hat Dich Angela bereits hingewiesen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 09.11.2008 | | Autor: | Herk |
OK.. wenn ich mir das mit dem Binomischen Lehrsatz
$ [mm] a_n=n\cdot{} (\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \alpha^{n-k} (\bruch{1}{n})^{k} [/mm] $ - $ [mm] \alpha^k) [/mm] $
anschaue, komme ich drauf, dass die Folge anfänglich steigt und irgendann anfängt zu fallen - und zwar mit - $ [mm] \alpha^k [/mm] $
Was ist dann der Grenzwert? Der "Scheitelpunkt" sozusagen?
Muss (kann) man das weiter auflösen?
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> OK.. wenn ich mir das mit dem Binomischen Lehrsatz
> [mm]a_n=n\cdot{} (\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} \alpha^{n-k} (\bruch{1}{n})^{k}[/mm]
> - [mm]\alpha^k)[/mm]
Hallo,
ach Du liebe Zeit!
Ich hatte zuvor einen verheerenden Fehler übersehen (schlimmer noch: per "copy" wiederholt...), welchen ich inzwischen korrigiert habe:
Wenn Du auf [mm] (a-\bruch{1}{n})^k [/mm] den binomischn Lehrsatz anwendest, bekommst Du natürlich
[mm] \summe_{i=0}^{k}\vektor{k \\ i} \alpha^{k-i} (\bruch{1}{n})^{i}, [/mm] so daß Du insgesamt hast
[mm] a_n=n*(\summe_{i=0}^{k}\vektor{k \\ i} \alpha^{k-i} (\bruch{1}{n})^{i} [/mm] - [mm] a^k).
[/mm]
Schreib die Summe mal aus, bzw. spalte das erste Glied (also für i=0) ab.
Was passiert? Danach kannst Du den Faktor n von vorne in die Klammer holen.
Gruß v. Angela
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