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| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n}), (b_{n}) [/mm] zwei Folgen in [mm] \IR.Man [/mm] zeige:
a) [mm] a_{n} \le b_{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN \Rightarrow \underline{lim}a_{n} \le \underline{lim}b_{n} [/mm] und [mm] \overline{lim}a_{n} \le \overline{lim}a_{n}
[/mm]
b) Falls [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] beschränkt sind gilt:
[mm] \underline{lim}a_{n}+\underline{lim}b_{n} \le \underline{lim}(a_{n}+b_{n}) \le \underline{lim}a_{n}+\overline{lim}b_{n} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich hab ein paar Schwierigkeiten mit dem Beweis dieser Aufgabe. Die a) ist schon so klar, dass ich nicht weiß wie ich es beweisen soll.Ich habs so versucht:
a) Sei [mm] a=\underline{lim}a_{n} [/mm] und [mm] b=\underline{lim}b_{n}. [/mm] Dann ist a [mm] \in E(\{a_{n}\}) [/mm] und b [mm] \in E(\{b_{n}\}) [/mm] und a ist untere Schranke von [mm] E(\{a_{n}\}), [/mm] d.h. a [mm] \le E(\{a_{n}\}) [/mm] und analog ist b [mm] \le E(\{b_{n}\}).
[/mm]
Dann weiß ich noch,dass jeweils eine konvergente Teilfolge eyistier mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}_{k}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}_{k}=b.
[/mm]
Das bedeutet wiederum,dass für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein M [mm] \in \IN [/mm] existiert,sodass [mm] d(x_{n}_{k},a)< \varepsilom [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] n, bzw. [mm] a_{n}_{k} \in K(a,\varepsilon) [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N und analog für b.
Ich weiß zwar nicht,ob mir diese ganzen Infos was bringen, aber ich habe die schonmal.
Ich hatte überlegt einen Widerspruchsbeweis zu führen.
Angenommen es ist a>b. Dann folgt daraus, dass [mm] E(\{a_{n}\})>b.
[/mm]
So und weiter habe ich jetzt leider keine Idee.Kann mir jemand weiterhelfen?
b) Hier kann ich schonmal zeigen, dass
[mm] \underline{lim}a_{n}+\underline{lim}b_{n} \le \underline{lim}a_{n}+\overline{lim}b_{n}. [/mm] Denn wenn ich auf beiden Seiten [mm] \underline{lim}a_{n} [/mm] abziehe, habe ich [mm] \underline{lim}b_{n} \le \overline{lim}b_{n} [/mm] und das ist immer eine wahre Aussage, wobei ich glaube dass mir das nichts bringt, das gezeigt zu haben.
Also ist zuerst zu zeigen, dass [mm] \underline{lim}a_{n}+\underline{lim}b_{n} \le \underline{lim}(a_{n}+b_{n}).
[/mm]
Hier habe ich mir auch erstmal die Voraussetzungen aus a) aufgeschrieben. Und jetzt ist [mm] a_{n}) [/mm] beschränkt,d.h. es existiert ein a [mm] \in a_{n} [/mm] und ein M>0, sodass [mm] a_{n} \subseteq [/mm] K(a,M), analog für b.
So, ich weiß jetzt irgendwie nicht, was ich über den [mm] \underline{lim}(a_{n}+b_{n}) [/mm] aussagen kann. Ich kenne keinen Satz oder Regeln,die etwas darüber aussagen.
Hat jemand einen Tippmwie man am besten vorgeht?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Sa 14.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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