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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Do 05.12.2013 | | Autor: | Zecha |
| Aufgabe | [mm] (b_{n})_{n \ge m} [/mm] sei eine Folge reeller Zahlen und [mm] a\in\IR [/mm] .
Zeige, dass [mm] \liminf_{n\rightarrow\infty}(a-b_{n})=a-\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}. [/mm] |
Hallo erstmal.
Leider weiß ich nicht so recht, wie ich die Aufgabe lösen soll. Habe es mit den üblichen Rechenregeln für lim inf und für lim sup aus Ana I probiert, komme aber leider nicht zurecht.
Für eine Lösung, so das ich sie verstehe, wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Do 05.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm](b_{n})_{n \ge m}[/mm] sei eine Folge reeller Zahlen und [mm]a\in\IR[/mm]
> .
> Zeige, dass
> [mm]\liminf_{n\rightarrow\infty}(a-b_{n})=a-\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}.[/mm]
>
> Hallo erstmal.
>
> Leider weiß ich nicht so recht, wie ich die Aufgabe lösen
> soll. Habe es mit den üblichen Rechenregeln für lim inf
> und für lim sup aus Ana I probiert, komme aber leider
> nicht zurecht.
> Für eine Lösung, so das ich sie verstehe, wäre ich sehr
> dankbar.
>
Sei $s:= [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}$ [/mm] und $t:= [mm] \liminf_{n\rightarrow\infty}b_{n}.$
[/mm]
Edit: es soll lauten: $ t:= [mm] \liminf_{n\rightarrow\infty}(a-b_{n}). [/mm] $
1. Es ist a-s ein Häufungswert von [mm] (a-b_n). [/mm] t ist der kleinste Häufungswert dieser Folge, also haben wir
$t [mm] \leq [/mm] a-s$.
2. Zeige Du nun, dass auch
$a-s [mm] \leq [/mm] t$
gilt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 05.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Danke schonmal für die schnelle Antwort.
Die Idee bei 1. kann ich nachvollziehen, aber wieso ist t der kleinste Häufungswert der Folge [mm] (a-b_{n})?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 05.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal für die schnelle Antwort.
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> Die Idee bei 1. kann ich nachvollziehen, aber wieso ist t
> der kleinste Häufungswert der Folge [mm](a-b_{n})?[/mm]
Pardon. Oben hatte ich mich verschrieben.
Es sollte lauten: $ t:= [mm] \liminf_{n\rightarrow\infty}(a-b_{n}). [/mm] $
FRED
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>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 05.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Aso, damit ist 1. klar.
a-s ist ja dann sozusagen eine reelle Zahl a minus den größten Häufungspunkt von [mm] b_n [/mm] .
Dies müsste kleiner/gleich dem kleinsten Häufungspunkt von [mm] (a-b_n) [/mm] sein.
Also klar ist was gemacht werden muss, nur leider steh ich grade iwi auf dem Schlauch.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Vllt noch ein paar tips, wie es weitergeht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Fr 06.12.2013 | | Autor: | fred97 |
t ist Häufungswert von [mm] (a-b_n). [/mm] Damit ist a-t Häufungswert von [mm] (b_n).
[/mm]
Folglich ist a-t [mm] \le [/mm] s. Damit haben wir
a-s [mm] \le [/mm] t.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Zecha |
Vielen Dank für die Hilfe!
Bin nicht auf die Idee gekommen, a-t zu betrachten und das dann einfach umzustellen. Manchmal denkt man echt zu kompliziert.
Einen schönen Tag noch.
Gruß Zecha
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