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Ich würde gerne eine Idee/Ansatz bekommen, wie man folgende Aufgabe angehen kann.
Gegegeben ist eine Folge [mm] {x_{k}} \subset \IR^{+} [/mm] mit
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}*\limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x_{n}}=1.
[/mm]
Zeigen soll ich nun, dass die Folge [mm] {x_{k}} [/mm] konvergiert...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich würde gerne eine Idee/Ansatz bekommen, wie man folgende
> Aufgabe angehen kann.
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> Gegegeben ist eine Folge [mm]{x_{k}} \subset \IR^{+}[/mm] mit
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> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}*\limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x_{n}}=1.[/mm]
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> Zeigen soll ich nun, dass die Folge [mm]{x_{k}}[/mm] konvergiert...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bitte poste in Zukunft immer mit, wie weit Du gekommen bist, und was Du Dir überlegt hast.
Sind Dir die Begriffe limes superior und limes inferior bekannt.
In dieser Aufgabe hast Du also ein Folge [mm] (x_n) [/mm] und eine Folge [mm] (y_n) [/mm] , [mm] y_n:=\bruch{1}{x_n}, [/mm] welche beide einen limes superior haben. das ist j nicht selbstverständlich.
Nennen wir a:= [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}.
[/mm]
Das Produkt der beiden Limites ist 1, also ist [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}y_{n}=\bruch{1}{a},
[/mm]
Und hier sollte sich ein Angriffspunkt für den Beweis finden lassen.
Zeigen sollst Du ja, daß [mm] (x_n) [/mm] konvergiert. (Wenn die Folge konvergiert, muß sie gegen a konvergieren)
Wenn nun a der limsup von [mm] (x_n) [/mm] ist, ist es ja unbedingt bemerkenswert, daß [mm] \bruch{1}{a} [/mm] der limsup von [mm] (y_n) [/mm] ist.
Denn wenn ich mir beispielsweise mal die Folgen ( 1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3...) und [mm] (1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},1,\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},...) [/mm] anschaue,
ist das ja überhaupt nicht so.
Dies obige wäre also ein möglicher Lösungsansatz: klären der Begriffe, klären der Aufgabenstellung, Sammeln der passenden Sätze/Tatbestände aus dem Dunstkreis, hier z.B. die Überlegung, daß der Grenzwert a sein muß. Anschließen müßte sich nun die Überlegung, was für "Konvergenz gegen a" zu zeigen wäre.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort. Ich glaube, ich habe nun den Beweis geschafft und zwar mit der Eigenschaft des Limes superior:
Sei $a [mm] \in \IR$, [/mm] dann
$a = [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}x_{n} \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0$ gilt:
(1) $a - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] x_{n} [/mm] $ für unendlich viele $ n [mm] \in \IN [/mm] $
(2) [mm] $x_{n} [/mm] > a+ [mm] \varepsilon [/mm] $ für höchstens endliche viele $ n [mm] \in \IN$
[/mm]
Dadurch kann man nun, wendet man diese Eigenschaft auf beide Folgen [mm] $x_{n}$, $y_{n}$ [/mm] an, zeigen, dass
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}: |x_{n}-a|<\varepsilon$.
[/mm]
Ich führe das mal kurz aus:
Aus a = $ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] $ folgt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$:
(1) $a - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] x_{n}$ [/mm] für unendlich viele $ n [mm] \in \IN$
[/mm]
(2) $ [mm] x_{n} [/mm] > a+ [mm] \varepsilon$ [/mm] für höchstens endlich viele $ n [mm] \in \IN$ [/mm]
Weiterhin folgt für die Tatsache $ [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}y_{n}=\bruch{1}{a} [/mm] $
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$:
(1) [mm] $\bruch{1}{a} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{x_{n}}$ [/mm] für unendlich viele $n [mm] \in \IN$
[/mm]
(2) $ [mm] \bruch{1}{x_{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{a} [/mm] + [mm] \varepsilon$ [/mm] für höchstens endlich viele $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Schreibt man letzters nun anders auf bzw. formt um, so erhält man:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$:
(1) $a + [mm] x_{n} [/mm] a [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] x_{n}$ [/mm] für unendlich viele $n [mm] \in \IN$
[/mm]
(2) $ a - [mm] \varepsilon x_{n} [/mm] a > [mm] x_{n}$ [/mm] für höchstens endlich viele $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Da die Aussage für alle [mm] $\varepsilon$ [/mm] gelten soll, kann man auch schreiben:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$:
(1) $a + [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] x_{n}$ [/mm] für unendlich viele $n [mm] \in \IN$
[/mm]
(2) $ a - [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] x_{n}$ [/mm] für höchstens endlich viele $n [mm] \in \IN$,
[/mm]
womit nun, fasst man die kursiv geschriebenen Ergebnisse zusammen, die Behauptung folgt.
Bei ein paar Schritten bin ich mir nicht ganz sicher (u.a. wo ich [mm] $x_n [/mm] a$ vor dem [mm] $\varepsilon$ [/mm] weglasse). Wäre nett, wenn du mir sagen könntest, ob das so geht oder ob der Ansatz zumindest stimmt.
Gruß Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Hast Du meine Antwort nicht gelesen ?
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ein paar Ansätze:
Sei a = [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}
[/mm]
Sei c ein Häufungswert von [mm] (x_n). [/mm] Du hast alles gezeigt, wenn Du zeigen kannst: c = a. Ist Dir klar warum ?
Es ist c [mm] \le [/mm] a.
Wähle eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] die gegen c strebt.
zeige: c>0.
Was treibt der Kehrwert der obigen Teilfolge ?
FRED
Zeige zunächst : c>0
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Ja, mir ist klar, dass $c=a$ bedeuten würde, dass es nur einen Häufungspunkt gibt. $c [mm] \le [/mm] a$ ist auch klar, da $a$ ja der größte Häufungspunkt ist nach Voraussetzung.
Dass $c>0$ sein muss, sieht man durch folgende Tatsache: Angenommen $c$ wäre $0$, dann wäre der Grenzwert der Teilfolge [mm] $\bruch{1}{x_{n_{k}}} [/mm] = [mm] \infty$. [/mm] Das kann aber nicht sein. Widerspruch. Damit muss $c>0$ sein.
Das verstehe ich, allerdings ist mir nicht klar, was mir das weiterhilft. Die andere Lösung hatte ich erstellt, bevor ich deine Idee gelesen habe. Auch da würde es mich interessieren, ob der Ansatz erfolgreich ist oder wenn nicht, zum erfolgreichen Abschluss gebracht werden kann.
Gruß Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ja, mir ist klar, dass [mm]c=a[/mm] bedeuten würde, dass es nur
> einen Häufungspunkt gibt. [mm]c \le a[/mm] ist auch klar, da [mm]a[/mm] ja
> der größte Häufungspunkt ist nach Voraussetzung.
>
> Dass [mm]c>0[/mm] sein muss, sieht man durch folgende Tatsache:
> Angenommen [mm]c[/mm] wäre [mm]0[/mm], dann wäre der Grenzwert der Teilfolge
> [mm]\bruch{1}{x_{n_{k}}} = \infty[/mm]. Das kann aber nicht sein.
> Widerspruch. Damit muss [mm]c>0[/mm] sein.
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> Das verstehe ich, allerdings ist mir nicht klar, was mir
> das weiterhilft.
Für eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] gilt : [mm] x_{n_k} [/mm] --> c, also [mm] \bruch{1}{ x_{n_k}}--> [/mm] 1/c.
Somit ist 1/c Häufungswert von [mm] (1/x_n). [/mm] Daher: 1/c [mm] \le [/mm] lim sup [mm] 1/x_n [/mm] = 1/a.
Fazit : a [mm] \le [/mm] c
Genügt das ?
FRED
>Die andere Lösung hatte ich erstellt,
> bevor ich deine Idee gelesen habe. Auch da würde es mich
> interessieren, ob der Ansatz erfolgreich ist oder wenn
> nicht, zum erfolgreichen Abschluss gebracht werden kann.
>
> Gruß Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Fr 21.11.2008 | | Autor: | martin841 |
Danke, das genügt  Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Gruß Martin
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