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Forum "Uni-Stochastik" - limes supremum Funktionen Norm
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limes supremum Funktionen Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Mo 14.02.2022
Autor: inkeddude

Guten Nachmittag, ich suche ein Definition für den Limes Supremum/Infimum einer Funktion für normierte Räume. In Analysis 3 haben wir es mit tausenden von Konvergenzbegriffen zu tun, und ich verliere da langsam den Überblick^^
Also für normierte Räume kenne ich noch das [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] - Kriterium für Grenzwerte von Abbildungen zwischen zwei normierten Räumen.
Korrigiert mich, wenn ich einen Tippfehler übersehe:

Definition:
Gegeben seien
(1) zwei normierte Räume [mm] $(\mathbb{V}_{i}, \| \cdot \|_{V})_{i \in \{1,2\}}$ [/mm]
(1) eine Teilmenge $U [mm] \subseteq V_{1}$ [/mm] von [mm] $V_{1}$ [/mm]
(2) eine Abbildung $f:U [mm] \rightarrow V_{2}$ [/mm]
(3) ein Häufungspunkt $a [mm] \in V_{1}$ [/mm]
(4) ein Element $y [mm] \in V_{2}$ [/mm]

Dann heißt $y$ Grenzwert von $f$ in $a$, falls
[mm] $\forall\; \varepsilon \in \mathbb{R}^{+}\; \exists \; \delta_{\varepsilon} \in \mathbb{R}^{+}\; :\; \forall \; [/mm] x [mm] \in [/mm] U$ mit $ 0 < [mm] \| [/mm] x - a [mm] \|_{V_{1}} [/mm] < [mm] \delta_{\varepsilon}$ [/mm] gilt [mm] $\| [/mm] f(x) - y [mm] \|_{V_{2}} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]
Wir schreiben dann [mm] $\lim\limits_{x \to a}f(x) [/mm] = y$.

Ich möchte nun wissen, wie der [mm] $\limsup\limits_{x \to a} [/mm] f(x)$ bzw. der [mm] $\liminf\limits_{x \to a} [/mm] f(x)$ für normierte Räume definiert ist.

Auf Wikipedia ist das ganze für reelle Funktion definiert:

Sei [mm] $I\subseteq \mathbb{R}$ [/mm] ein Intervall, [mm] $\xi$ [/mm]  ein innerer Punkt von $I$ und [mm] $f\colon I\to \mathbb{R}$ [/mm] eine reellwertige Funktion. Dann sind Limes superior und Limes inferior jene Werte aus den erweiterten reellen Zahlen [mm] $\mathbb{R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$, [/mm] die folgendermaßen definiert sind:
$ [mm] \limsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a)\backslash\{\xi\})$ [/mm] und  [mm] $\liminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a)\backslash\{\xi\})$. $f((\xi-a,\xi+a))$ [/mm] bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen Intervalls [mm] $(\xi-a,\xi+a)$, [/mm] wobei $a$ so klein zu wählen ist, dass [mm] $(\xi-a,\xi+a)\subseteq [/mm] I$.

Wie kann ich diese Definition auf beliebige normierte Räume verallgemeinern? Ich bekomme das alleine irgendwie nicht hin...

lg, Inkeddude



Edit: Habe die Frage aus Versehen im Stochastikk - Forum gepostet. Kann ich die Frage selbst verschieben oder kann das nur ein Moderator?

        
Bezug
limes supremum Funktionen Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Mo 14.02.2022
Autor: fred97


> Guten Nachmittag, ich suche ein Definition für den Limes
> Supremum/Infimum einer Funktion für normierte Räume. In
> Analysis 3 haben wir es mit tausenden von
> Konvergenzbegriffen zu tun, und ich verliere da langsam den
> Überblick^^
>  Also für normierte Räume kenne ich noch das
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm] - Kriterium für Grenzwerte von
> Abbildungen zwischen zwei normierten Räumen.
>  Korrigiert mich, wenn ich einen Tippfehler übersehe:
>  
> Definition:
>  Gegeben seien
>  (1) zwei normierte Räume [mm](\mathbb{V}_{i}, \| \cdot \|_{V})_{i \in \{1,2\}}[/mm]
>  
> (1) eine Teilmenge [mm]U \subseteq V_{1}[/mm] von [mm]V_{1}[/mm]
>  (2) eine Abbildung [mm]f:U \rightarrow V_{2}[/mm]
>  (3) ein
> Häufungspunkt [mm]a \in V_{1}[/mm]
>  (4) ein Element [mm]y \in V_{2}[/mm]
>  
> Dann heißt [mm]y[/mm] Grenzwert von [mm]f[/mm] in [mm]a[/mm], falls
>  [mm]\forall\; \varepsilon \in \mathbb{R}^{+}\; \exists \; \delta_{\varepsilon} \in \mathbb{R}^{+}\; :\; \forall \; x \in U[/mm]
> mit [mm]0 < \| x - a \|_{V_{1}} < \delta_{\varepsilon}[/mm] gilt [mm]\| f(x) - y \|_{V_{2}} < \varepsilon[/mm]
>  
> Wir schreiben dann [mm]\lim\limits_{x \to a}f(x) = y[/mm].
>  
> Ich möchte nun wissen, wie der [mm]\limsup\limits_{x \to a} f(x)[/mm]
> bzw. der [mm]\liminf\limits_{x \to a} f(x)[/mm] für normierte
> Räume definiert ist.
>
> Auf Wikipedia ist das ganze für reelle Funktion
> definiert:
>  
> Sei [mm]I\subseteq \mathbb{R}[/mm] ein Intervall, [mm]\xi[/mm]  ein innerer
> Punkt von [mm]I[/mm] und [mm]f\colon I\to \mathbb{R}[/mm] eine reellwertige
> Funktion. Dann sind Limes superior und Limes inferior jene
> Werte aus den erweiterten reellen Zahlen [mm]\mathbb{R} \cup \{-\infty ,+\infty \}[/mm],
> die folgendermaßen definiert sind:
>  [mm]\limsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a)\backslash\{\xi\})[/mm]
> und  [mm]\liminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a)\backslash\{\xi\})[/mm].
> [mm]f((\xi-a,\xi+a))[/mm] bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen
> Intervalls [mm](\xi-a,\xi+a)[/mm], wobei [mm]a[/mm] so klein zu wählen ist,
> dass [mm](\xi-a,\xi+a)\subseteq I[/mm].
>
> Wie kann ich diese Definition auf beliebige normierte
> Räume verallgemeinern? Ich bekomme das alleine irgendwie
> nicht hin...
>  

Da [mm] \sup [/mm] und [mm] \inf [/mm] vorkommen benötigen wir eine Ordnung auf [mm] V_2, [/mm] also [mm] V_2=\IR. [/mm]

Ist [mm] \xi [/mm] ein innerer Punkt von U, so ersetze die obigen offenen Intervalle durch Kugeln um [mm] \xi [/mm] mit Radius a>0 (soweit diese in U enthalten sind).


> lg, Inkeddude
>  
>
> Edit: Habe die Frage aus Versehen im Stochastikk - Forum
> gepostet. Kann ich die Frage selbst verschieben oder kann
> das nur ein Moderator?


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