limes xlog.... < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Berechnen aiw
lim x-> unendlich [mm] xlog(1+\bruch{1}{x}) [/mm] |
ich steh da total auf dem schlauch,
vom logischen ist ja abzuwägen ob der logarithmus schneller gegen null geht, als das x gegen unendlich.
leider fällt mir keine methode ein mit der ich das lösen koennte, wobei ich die aufgabe schonmal gelöst habe, scheint also was triviales zu sien, was ich aber wieder vergessen habe.
danke fuer die hilfe,
katja
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Hallo Katja!
Forme um wie folgt:
[mm] $$x*\log\left(1+\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\log\left(\bruch{x+1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\log(x+1)-\log(x)}{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Nun haben wir für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] den unbestimmten Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] , so dass Du hier  de l'Hospital anwenden kannst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
hallo roadrunner
ok, dasmit dem umformen erscheint mir logisch,
leider verstehe ich nicht wie du auf deine letzte umformung kommst?
welche logarithmusregel (die ich nicht kenne) wird da angewandt?
gruss
katja
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Hallo Katja,
es ist $\ [mm] \log \frac{x}{y} [/mm] = [mm] \log [/mm] x - [mm] \log [/mm] y $
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
ok, stimmt klar, ich war eigentlich mehr irritiert wegen dem 1/x aber das ist ja einfach das x unter den bruch gezogen.
jetzt stehe ich allerdings vor dem problem, mit den ableitungen
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x+1}-\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
stimmt die erste ableitung so?
kommt mir irgendwie etwas komisch vor, was ich da so gemacht habe
danke auf jeden fall fuer die hilfe,
katja
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Hallo Katja,
> ok, stimmt klar, ich war eigentlich mehr irritiert wegen
> dem 1/x aber das ist ja einfach das x unter den bruch
> gezogen.
>
> jetzt stehe ich allerdings vor dem problem, mit den
> ableitungen
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x+1}-\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> stimmt die erste ableitung so? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fasse das Biest nun schön zusammen und mache dann den Grenzübergang ...
> kommt mir irgendwie etwas komisch vor, was ich da so
> gemacht habe
>
>
> danke auf jeden fall fuer die hilfe,
>
> katja
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
ok, dann wäre das
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] -x + [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] +x =1
somit kommt das gleiche raus wie bei frads vorschlag :)
danke euch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> ok, dann wäre das
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] -x + [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] +x =1
>
>
> somit kommt das gleiche raus wie bei frads vorschlag :)
Heute frad, ab morgen wieder fred
FRED
>
> danke euch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Mi 16.09.2009 | | Autor: | katjap |
oh das tut mir leid fred....
kommt nicht wieder vor, meine tippfehler sind leider manchmal staerker als der verstand
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> oh das tut mir leid fred....
war doch nicht schlimm
FRED
> kommt nicht wieder vor, meine tippfehler sind leider
> manchmal staerker als der verstand
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Es geht auch ohne L'Hospital: Sei $f(t) = log(1+t)$. Dann:
[mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}x [/mm] log(1+1/x) = [mm] \limes_{t \rightarrow 0}\bruch{f(t)-f(0)}{t-0} [/mm] = f'(0) = 1$
FRED
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