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| Aufgabe | Gegeben [mm]A_n=B_1\left(\left(\frac{1}{n}(-1)^n,0\right)\right)[/mm]
Gesucht sind [mm]\liminf\limits_{n\to\infty}A_n[/mm] und [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}A_n[/mm] |
Hallo zusammen,
mir ist klar, dass [mm]A_n[/mm] eine Folge von Einheitskreisscheiben mit alternierenden Mittelpunkten [mm]M_1=(-1,0), M_2=(1/2,0), M_3=(-1/3,0)[/mm] usw. ist.
Leider fehlt mir die Einsicht, was denn
1) [mm]\bigcup\limits_{n\in\IN}\bigcap\limits_{k\ge n}A_k[/mm] und
2) [mm]\[/mm][mm]\bigcap\limits_{n\in\IN}\bigcup\limits_{k\ge n}A_k[/mm]
denn nun ist ...
Kann mir bitte jemand helfen, Einsicht zu erlangen?
Merci d'avance
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ich würde behaupten:
[mm] $\limsup_{n\to\infty} A_n [/mm] = [mm] B_1((0,0))\setminus\{(0,-1),(0,1)\}$
[/mm]
Denn:
$ [mm] \bigcup\limits_{k\ge n}A_k [/mm] = [mm] \left(\left[\bruch{(-1)^k}{k}, \bruch{(-1)^{k+1}}{k+1}\right] \times [-1,1]\right)\setminus\{(0,-1),(0,1)\}$
[/mm]
Anschaulich sind ja auf jedenfall die beiden Kreise [mm] $A_k=B_1\left(\left(\frac{1}{k}(-1)^k,0\right)\right) [/mm] $ und [mm] $A_{k+1}=B_1\left(\left(\frac{1}{k+1}(-1)^{k+1},0\right)\right) [/mm] $ enthalten + alles, was dazwischen liegt.
Einzig die beiden Punkte (0,-1) und (0,1) werden nie erreicht, da diese nur vom Einheitskreis um (0,0) berührt werden würden, der aber nicht dazugehört.
Alle anderen Punkte erreicht man jedoch schon.
Heisst: Als [mm] \limsup [/mm] (und ich würde sagen auch als [mm] \liminf) [/mm] erhält man also die Einheitskreisscheibe ohne ihre beiden Pole.
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
vielen Dank für deine Hinweise!
Klingt plausibel!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Di 12.04.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu schachuzipus,
da fällt mir doch glatt folgendes auf:
Der [mm] \limsup [/mm] enthält den Rand der Einheitskreisscheibe ausser (0,1) und (0,-1) (warum, hatten wir ja schon geklärt).
Der [mm] \liminf [/mm] ist die Einheitskreisscheibe OHNE Rand.
Ist dir klar, warum?
MFG,
Gono.
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