limsup := größter Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 17.11.2013 | | Autor: | Clays |
| Aufgabe | | Warum ist lim sup von einer folge [mm] a_n [/mm] der größte Grenzwert von konvergenten Teilfolgen der Folge [mm] a_n? [/mm] |
Hallo,
Die Frage ist keine Aufgabe oder ähnliches ich versteh es aber trotzdem nicht,
die Definition bekommt man wenn man lim sup bei Wikipedia sucht.
Unsere Definition vom lim sup ist jedoch:
Für endlich viele n [mm] \in\IN [/mm] gilt: [mm] a_n [/mm] < a + [mm] \varepsilon [/mm] und Für unendliche viele m [mm] \in\IN [/mm] gilt [mm] a_m [/mm] > a - [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich kann es mir leider selber nicht erklären wie man von der Definition auf das kommt was Wikipedia mir sagen möchte, würde mich freuen wenn sich jemand die mühe machen würde, mir das zu erklären.
grüße clays
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Warum ist lim sup von einer folge [mm]a_n[/mm] der größte
> Grenzwert von konvergenten Teilfolgen der Folge [mm]a_n?[/mm]
> Hallo,
>
> Die Frage ist keine Aufgabe oder ähnliches ich versteh es
> aber trotzdem nicht,
> die Definition bekommt man wenn man lim sup bei Wikipedia
> sucht.
>
> Unsere Definition vom lim sup ist jedoch:
> Für endlich viele n [mm]\in\IN[/mm] gilt: [mm]a_n[/mm] < a + [mm]\varepsilon[/mm]
> und Für unendliche viele m [mm]\in\IN[/mm] gilt [mm]a_m[/mm] > a -
> [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ich kann es mir leider selber nicht erklären wie man von
> der Definition auf das kommt was Wikipedia mir sagen
> möchte, würde mich freuen wenn sich jemand die mühe
> machen würde, mir das zu erklären.
naja, o.E. sei [mm] ${(a_n)}_n$ [/mm] nach oben beschränkt. Definiere Dir
[mm] $kTF({(a_n)}_n):=\{{(a_{n_k})}_k:\;\; {(a_{n_k})}_k \text{ ist eine konvergente Teilfolge von} {(a_n)}_n\}\,,$
[/mm]
also $kTF$ ist die Menge aller konvergenten Teilfolgen von [mm] ${(a_n)}_n\,.$
[/mm]
Definiere Dir zudem
[mm] $G_{kTF}:=\{g:\;\; g=\lim_{k \to \infty}b_k \text{ für eine Folge }{(b_k)}_k \in kTF\}\,,$
[/mm]
d.h. [mm] $G_{kTF}$ [/mm] ist die Menge aller Grenzwerte der Teilfolgen von [mm] ${(a_n)}_n\,.$
[/mm]
Die Menge [mm] $G_{kTF}$ [/mm] ist nach oben beschränkt (warum?). Also hat sie ein Supremum.
Die erste Aussage ist nun: [mm] $\sup(G_{kTF})=\max(G_{kTF})\,.$ [/mm] (Wenn man von
"dem größten Element" einer Menge spricht, so meint man ja, dass die
Menge ein Maximum hat).
Bekommst Du das bewiesen?
Die zweite Aussage ist nun:
[mm] $M:=\max(G_{kTF})$ [/mm] ist das gleiche Element wie der Limsup nach der Euch gegebenen
Definition.
D.h. nun hast Du noch
[mm] $M=\limsup_{n \to \infty} a_n$
[/mm]
nachzurechnen.
Vielleicht geht das gut, indem Du sowohl
$M [mm] \;\le\; \limsup_{n \to \infty} a_n$
[/mm]
(guter Ansatz dafür: $M [mm] \;\le\; \limsup_{n \to \infty} a_n+\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon \;>\; [/mm] 0$)
als auch
$M [mm] \;\ge\; \limsup_{n \to \infty} a_n$ [/mm]
(eigener Ansatz?)
nachrechnest.
P.S. Nur mal als ganz grobes Beispiel:
Wir betrachten
[mm] ${(a_n)}_n=(a_1,a_2,a_3,...)$
[/mm]
bzw. auch
[mm] ${(b_n)}_n=(b_1,b_2,b_3,...)$
[/mm]
gegeben durch folgendes "Dreiecks-Schema" [mm] ("$\IN$" [/mm] Zeilen und [mm] "$\IN$" [/mm] Spalten)
[mm] $\pmat{a_1, & & & & &\\ a_2, & a_3, & & & &\\ a_4, & a_5, & a_6, & & &\\ a_7, & a_8, & a_9, & a_{10} & \\ ..., & ..., & ..., & ..., & ...}\equiv:\pmat{1, & & & & &\\ 1+1/2, & 0+1/2, & & & &\\ 1+1/3, & 0+1/3, & -1+1/3, & & &\\ 1+1/4, & 0+1/4, & -1+1/4, & -2+1/4\\ ..., & ..., & ..., & ..., & ...}
[/mm]
bzw.
[mm] $\pmat{b_1, & & & & &\\ b_2, & b_3, & & & &\\ b_4, & b_5, & b_6, & & &\\ b_7, & b_8, & b_9, & b_{10}, &\\ ..., & ..., & ..., & ..., & ...}\equiv:\pmat{1, & & & & &\\ 1, & 0, & & & &\\ 1, & 0, & -1, & & &\\ 1, & 0, & -1, & -2, &\\ ..., & ..., & ..., & ..., & ..., }
[/mm]
(Ich hoffe, Du verstehst, wie das gemeint ist - ansonsten müßte ich die
Folgen explizit hinschreiben!)
Diese Folgen haben die Häufungspunkte
[mm] $\{z \in \IZ:\;\; z \;\le\; 1\}\,.$
[/mm]
(Durchlaufe eine Spalte von oben nach unten!)
Der größte Häufungspunkt ist somit (offenbar) [mm] $1\,$ [/mm] und liegt insbesondere
auch in letztstehender Menge!
Das Beispiel zeigt insbesondere, dass die Menge der Häufungspunkte
einer Folge nicht endlich sein muss (aber abzählbar)!
Gruß,
Marcel
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