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limsup(a+b)<ls(a)+ls(b): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:19 Mi 01.06.2016
Autor: sinnlos123

Aufgabe
Es seien [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] beschränkte Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_{n}+b_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_{n}) [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (b_{n}) [/mm]

Also was ich mir dazu gedacht habe, ist:

Links wird nur ein einziger Häufungspunkt(der maximale aus [mm] a_{n} [/mm] bzw. [mm] b_{n}) [/mm] genommen, wohingegen rechts
2 Häufungspunkte genommen werden.

Und offensichtlich ist a<a+b, bzw. andersrum.

Bin ich damit schonmal auf dem richtigen Dampfer?


Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.

        
Bezug
limsup(a+b)<ls(a)+ls(b): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Mi 01.06.2016
Autor: hippias


> Es seien [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] beschränkte Folgen reeller
> Zahlen. Zeigen Sie:
>  a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](a_{n}+b_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> sup [mm](a_{n})[/mm] + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](b_{n})[/mm]
>  Also was ich mir dazu gedacht habe, ist:
>  
> Links wird nur ein einziger Häufungspunkt(der maximale aus
> [mm]a_{n}[/mm] bzw. [mm]b_{n}[/mm]

Wie ist denn das gemeint?

> ) genommen, wohingegen rechts
>  2 Häufungspunkte genommen werden.
>  
> Und offensichtlich ist a<a+b, bzw. andersrum.

Was soll das denn? Wenn Du meinst, dass es anderum richtig ist, dann schreib es doch gleich richtig auf! Oder glaubst Du etwa, dass die Ungleichung $a+b<a$ ebenso richtig ist?

>  
> Bin ich damit schonmal auf dem richtigen Dampfer?

Ich kann Dir nicht folgen. Du musst Dich präziser ausdrücken!

Wende die Definition an und schätze ab.

>  
>
> Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.


Bezug
        
Bezug
limsup(a+b)<ls(a)+ls(b): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Mi 01.06.2016
Autor: fred97


> Es seien [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] beschränkte Folgen reeller
> Zahlen. Zeigen Sie:
>  a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](a_{n}+b_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> sup [mm](a_{n})[/mm] + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](b_{n})[/mm]
>  Also was ich mir dazu gedacht habe, ist:
>  
> Links wird nur ein einziger Häufungspunkt(der maximale aus
> [mm]a_{n}[/mm] bzw. [mm]b_{n})[/mm] genommen, wohingegen rechts
>  2 Häufungspunkte genommen werden.

Was soll das denn bedeuten ?

>  
> Und offensichtlich ist a<a+b,

Das ist doch Quatsch ! Das ist nur richtig, wenn b>0 ist.



> bzw. andersrum.
>  
> Bin ich damit schonmal auf dem richtigen Dampfer?

Nein.

Dir fehlen offenbar Grundlagen....

Sei [mm] (x_n) [/mm] eine beschränkte Folge. Für n [mm] \in \IN [/mm] setze

[mm] X_n:=\{x_k: k \ge n\}. [/mm]

Dann ist [mm] X_n [/mm] beschränkt.

Setze weiter

[mm] \xi_n:= \sup X_n. [/mm]

Mach Dir klar, dass [mm] (\xi_n) [/mm] beschränkt und fallend, also konvergent ist.

Es ist (nach Def.):  [mm] $\lim \sup x_n= \lim \xi_n$ [/mm]

Zur Aufgabe:

Sei

[mm] A_n:=\{a_k: k \ge n\}, B_n:=\{b_k: k \ge n\}, C_n:=\{a_k+b_k: k \ge n\} [/mm]

und

[mm] \alpha_n:= \sup A_n, \beta_n:= \sup B_n, \gamma_n:= \sup C_n [/mm]

Zeige:

   [mm] \gamma_n \le \alpha_n+\beta_n. [/mm]

Jetzt n [mm] \to \infty. [/mm]

FRED

> Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.


Bezug
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