limsup(a+b)<ls(a)+ls(b) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] beschränkte Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_{n}+b_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (a_{n}) [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] (b_{n}) [/mm] |
Also was ich mir dazu gedacht habe, ist:
Links wird nur ein einziger Häufungspunkt(der maximale aus [mm] a_{n} [/mm] bzw. [mm] b_{n}) [/mm] genommen, wohingegen rechts
2 Häufungspunkte genommen werden.
Und offensichtlich ist a<a+b, bzw. andersrum.
Bin ich damit schonmal auf dem richtigen Dampfer?
Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:27 Mi 01.06.2016 | | Autor: | hippias |
> Es seien [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] beschränkte Folgen reeller
> Zahlen. Zeigen Sie:
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](a_{n}+b_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> sup [mm](a_{n})[/mm] + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](b_{n})[/mm]
> Also was ich mir dazu gedacht habe, ist:
>
> Links wird nur ein einziger Häufungspunkt(der maximale aus
> [mm]a_{n}[/mm] bzw. [mm]b_{n}[/mm]
Wie ist denn das gemeint?
> ) genommen, wohingegen rechts
> 2 Häufungspunkte genommen werden.
>
> Und offensichtlich ist a<a+b, bzw. andersrum.
Was soll das denn? Wenn Du meinst, dass es anderum richtig ist, dann schreib es doch gleich richtig auf! Oder glaubst Du etwa, dass die Ungleichung $a+b<a$ ebenso richtig ist?
>
> Bin ich damit schonmal auf dem richtigen Dampfer?
Ich kann Dir nicht folgen. Du musst Dich präziser ausdrücken!
Wende die Definition an und schätze ab.
>
>
> Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 01.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] beschränkte Folgen reeller
> Zahlen. Zeigen Sie:
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](a_{n}+b_{n}) \le \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> sup [mm](a_{n})[/mm] + [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm](b_{n})[/mm]
> Also was ich mir dazu gedacht habe, ist:
>
> Links wird nur ein einziger Häufungspunkt(der maximale aus
> [mm]a_{n}[/mm] bzw. [mm]b_{n})[/mm] genommen, wohingegen rechts
> 2 Häufungspunkte genommen werden.
Was soll das denn bedeuten ?
>
> Und offensichtlich ist a<a+b,
Das ist doch Quatsch ! Das ist nur richtig, wenn b>0 ist.
> bzw. andersrum.
>
> Bin ich damit schonmal auf dem richtigen Dampfer?
Nein.
Dir fehlen offenbar Grundlagen....
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine beschränkte Folge. Für n [mm] \in \IN [/mm] setze
[mm] X_n:=\{x_k: k \ge n\}. [/mm]
Dann ist [mm] X_n [/mm] beschränkt.
Setze weiter
[mm] \xi_n:= \sup X_n.
[/mm]
Mach Dir klar, dass [mm] (\xi_n) [/mm] beschränkt und fallend, also konvergent ist.
Es ist (nach Def.): [mm] $\lim \sup x_n= \lim \xi_n$
[/mm]
Zur Aufgabe:
Sei
[mm] A_n:=\{a_k: k \ge n\}, B_n:=\{b_k: k \ge n\}, C_n:=\{a_k+b_k: k \ge n\}
[/mm]
und
[mm] \alpha_n:= \sup A_n, \beta_n:= \sup B_n, \gamma_n:= \sup C_n
[/mm]
Zeige:
[mm] \gamma_n \le \alpha_n+\beta_n.
[/mm]
Jetzt n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
> Hinweis: Das ist eine Hausaufgabe.
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