limsup und liminf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr alle!
Nun mache ich mich mal an ein paar Aufgaben zu limsup und liminf, damit ich feststellen kann, ob ich das nun endlich mal verstanden habe. Ich denke, ich werde jede Aufgabe hier in diesen Strang posten, aber jede extra.
Hier die erste:
Limes superior und Limes inferior einer Folge von Mengen ändern sich nicht, wenn man in der Folge nur endlich viele Glieder abändert, weglässt oder hinzufügt.
Beweis:
Ich würde sagen, dass ist so, weil laut Definition der liminf und der limsup ja aus den x besteht, bei denen für unedlich viele n "irgendwas" gilt. Demnach ändert es nichts, wenn man endlich viele Glieder hinzufügt oder wegnimmt, da die unendlich vielen immer noch unendlich viele sind.
Kann man das so verstehen? Ist das denn prinzipiell so richtig? Gibt es eine kurze bessere "Schreibweise" hierfür? (Muss kein langer Beweis sein, ich muss das ja nirgendwo abgeben, sondern will nur wissen, ob ich's verstanden habe.  )
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
So, hier nun die nächste Aufgabe:
Eine Folge [mm] (A_n)_{n\ge 1} [/mm] von Teilmengen von X konvergiert genau dann gegen die leere Menge, wenn zu jedem [mm] x\in [/mm] X nur endlich viele [mm] n\in \IN [/mm] existieren mit [mm] x\in A_n. [/mm] Insbesondere konvergiert jede Folge diskunkter Mengen gegen die leere Menge.
Beweisidee:
Das liegt daran, dass sowohl bei limsup als auch bei liminf eine Eigenschaft für unendlich viele n gefordert wird.
Frage:
Was genau bedeutet: konvergiert gegen die leere Menge? Normalerweise ist doch liminf=limsup=lim, falls eine Folge konvergiert. Wenn nun aber z. B. der limsup gar nicht existiert - heißt es dann, dass er die leere Menge ist? Oder wie genau ist das gemeint?
Ich würde jetzt so anfangen mit dem Beweis:
[mm] "\Leftarrow": \forall x\in [/mm] X [mm] \exists [/mm] endlich viele [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] x\in A_n [/mm] (zz: [mm] (A_n)_{n\ge 1} \to \{\})
[/mm]
[mm] \Rightarrow limsup=\{\}, [/mm] da kein x existiert, dass in unendlich vielen [mm] A_n [/mm] liegt
[mm] \Rightarrow lim=\{\}
[/mm]
reicht das denn so?
[mm] "\Rightarrow": (A_n)_{n\ge 1} \to \{\} \Rightarrow \not\exists n\in\IN [/mm] sodass [mm] x\in A_n [/mm] für unendlich viele n [mm] \Rightarrow \exists [/mm] endlich viele [mm] n\in\IN [/mm] sodass [mm] x\in A_n
[/mm]
Und hier? Reicht das so? Oder muss man dann auch noch mit dem liminf beweisen?
Nun noch zu dem letzten Teil:
Eine Folge disjunkter Mengen ist ja eine Folge, bei der jedes Element in maximal einer der Mengen vorhanden ist. Demnach gibt es kein Element, dass in unendlich vielen Mengen vorhanden ist, womit wiederum der limsup nicht existiert.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mo 14.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
Ich finde der Satz ruft nach einem indirekten Beweis, und deine Formulierungen gehen ja auch in der Richtung.
(die Aufgabe davor halt ich fuer richtig geloest)
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Zur Sprechweise: Der Ausdruck "der Limes superior konvergiert gegen die leere Menge" bedeutet nichts anderes als dass der Limes superior die leere Menge ist (und auf keinen Fall, dass er nicht existiert oder ähnliches).
Es bedeutet einfach nur:
[mm] $\bigcap\limits_{n \in \IN} \bigcup\limits_{k \ge n} A_k [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Und, wie leduart richtig sagt, kann man den Beweis darüber, dass dies genau dann der Fall ist, wenn jedes $x [mm] \in [/mm] X$ in nur endlich vielen [mm] $A_n$ [/mm] liegt, sehr schön indirekt führen.
Die Beweisideen hast du richtig erkannt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die Argumentation ist richtig.
Ein halbwegs mathematisch-formaler Beweis sähe so aus:
Wir zeigen, dass der Limes inferior der Mengenfolge [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$ [/mm] sich nicht ändert, wenn man die Mengen [mm] $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{n_0}$ [/mm] für ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] weglässt. (Der allgemeinere Fall bedeutet nur mehr Schreibarbeit und eine Umindizierung.)
Da die Folge [mm] $(B_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] \left( \red{\bigcup\limits_{k \ge n}} A_k \right)_{n \in \IN}$ [/mm] antiton ist (d.h. es gilt [mm] $B_n \supset B_{n+1}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$), [/mm] folgt natürlich:
[mm] $\bigcap\limits_{n= n_0+1}^{\infty} \bigcup\limits_{k \ge n} A_k [/mm] = [mm] \bigcap\limits_{n= n_0+1}^{\infty} B_n= \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} B_n= \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{k \ge n} A_k$,
[/mm]
also die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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