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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 11.01.2009 | | Autor: | schubi |
Habe eine Exponentialfunktion und eine lineare Funktion und möchte diese nach x aufösen, um den Schnittpunkt zu berechnen.
[mm] y=2.5^{x}
[/mm]
y=2x
2x = [mm] 2.5^{x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] lg(2)+lg(x) = lg(2.5) * x | /lg(2.5)
[mm] \gdw [/mm] lg(2)/lg(2.5) + lg(x)/lg(2.5) = x
Wie bekomme ich nun das lg(x) mit dem x auf eine Seite isoliert, sodass ich x berechnen kann?
Vielen Dank im vorraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Habe eine Exponentialfunktion und eine lineare Funktion und
> möchte diese nach x aufösen, um den Schnittpunkt zu
> berechnen.
>
> [mm]y=2.5^{x}[/mm]
> y=2x
>
> 2x = [mm]2.5^{x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] lg(2)+lg(x) = lg(2.5) * x | /lg(2.5)
> [mm]\gdw[/mm] lg(2)/lg(2.5) + lg(x)/lg(2.5) = x
>
> Wie bekomme ich nun das lg(x) mit dem x auf eine Seite
> isoliert, sodass ich x berechnen kann?
Das ist bei dieser Gleichung nicht möglich.
Man kann sie nicht durch Umformungen lösen,
sondern nur numerisch. Ich empfehle dir aber
jedenfalls, dir zuerst einmal die Graphen der
beiden Funktionen zu zeichnen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 11.01.2009 | | Autor: | schubi |
Numerisch heißt durch einsetzen lösen? Graphen hab ich mir schon mit dem Taschenrechner zeichnen lassen ... Schnittpunktberechnung führt der ja auch durch, mich hat nur interessiert, wie man dies "händisch" lösen kann, gibt es keinen anderen Weg? :)
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Hallo schubi,
> Numerisch heißt durch einsetzen lösen?
Hmm, eher mithilfe eines numerischen Verfahrens, zB. mithilfe des ![[]](/images/popup.gif) Newtonverfahrens.
Schau dir mal den link an, da ist es sogar animiert graphisch verdeutlicht
Um deine Gleichung [mm] $2,5^x=2x$ [/mm] zu lösen, definiertst du dir die Funktion [mm] $f(x):=2,5^x-2x$ [/mm] und suchst ihre Nullstelle(n) (die es in diesem Falle aber nicht gibt, da die beiden Graphen sich nicht schneiden)
Daneben gibt es noch andere Näherungsverfahren, etwa durch Intervallschachtelung, Regula falsi ...
> Graphen hab ich mir
> schon mit dem Taschenrechner zeichnen lassen ...
> Schnittpunktberechnung führt der ja auch durch, ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
In meinem plot kann ich keinen Schnittpunkt erkennen
> mich hat nur interessiert, wie man dies "händisch" lösen kann, gibt
> es keinen anderen Weg? :)
Doch, siehe oben für Bspe
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 So 11.01.2009 | | Autor: | schubi |
Sorry, ich meinte statt [mm] 2.5^{x} [/mm] eigentlich [mm] 1.2^{x}
[/mm]
danke für die Antwort, werde mich gleich mal dransetzen und den Artikel lesen :)
LG
Schubi
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> Numerisch heißt durch einsetzen lösen? Graphen hab ich mir
> schon mit dem Taschenrechner zeichnen lassen ...
> Schnittpunktberechnung führt der ja auch durch, mich hat
> nur interessiert, wie man dies "händisch" lösen kann, gibt
> es keinen anderen Weg? :)
Eine interessante Methode nebst der Newtonschen
ist noch die Lösung einer Gleichung durch Iteration.
Dabei bringt man die zu lösende Gleichung auf die
Form
$\ x\ =\ g(x)$
wobei man darauf achten muss, dass der Graph der
Funktion g in einer Umgebung der gesuchten
Lösung nicht zu steil ist, nämlich |g(x)|<1 für
alle x mit a<x<b.
Dann kann man mit einem beliebigen Startwert
[mm] x_0 \in [/mm] (a,b) beginnen und die Werte
[mm] x_1=g(x_0)
[/mm]
[mm] x_2=g(x_1)
[/mm]
[mm] x_3=g(x_2)
[/mm]
$\ etc.$
berechnen. Die Folge dieser Werte [mm] x_k [/mm] strebt dann
gegen die gesuchte Lösung x.
Bei deiner (korrigierten) Gleichung
$\ [mm] 2\,x\ [/mm] =\ [mm] 1.2^{\,x}$
[/mm]
ginge dies folgendermassen: Gleichung halbieren
$\ x\ =\ [mm] \underbrace{\bruch{1.2^{\,x}}{2}}_{g(x)}$
[/mm]
Zwischen a=0 und b=1, wo nach der Zeichnung
die erste Lösung liegen muss, ist die Bedingung
|g(x)|<1 tatsächlich erfüllt. Als Startwert kann
man z.B. [mm] x_0=1 [/mm] nehmen. Nach wenigen Iterationen
kommt man zur Lösung
$\ x\ =\ 0.553045.....$
Zur Bestimmung der zweiten Lösung muss man
aber vermutlich eine andere Umformung der
gegebenen Gleichung benützen.
LG
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