matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitlin.Abb. des R^n sind stetig
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Stetigkeit" - lin.Abb. des R^n sind stetig
lin.Abb. des R^n sind stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lin.Abb. des R^n sind stetig: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Di 29.06.2010
Autor: carlosfritz

Aufgabe
Beh.: Jede lineare Funktion T: [mm] \IR^{n} \rightarrow [/mm] F des [mm] \IR^{n} [/mm] in einen normierten Raum F ist stetig.

Hallo.

Als Tipp habe ich noch gegeben, dass je zwei Normen des [mm] \IR^{n} [/mm] äquivalent sind.

Wahrscheinlich ist es am einfachsten zu prüfen, dass T beschränkt ist.

Also versuche ich mal zz [mm] ||T(x)||_{F} \le [/mm] C||x|| für ein C [mm] \ge [/mm] 0

und es gilt ja [mm] ||T(x)||_{F} \le ||T||_{F} ||x||_{F} [/mm]


Mehr fällt mir nicht ein.
Den Tipp kann ich auch noch nicht unterbringen (müsste den Fall doch aber auf einen einzige Norm z.b. die Euklidische Norm einschränken oder?)

andererseits kann ich auch prüfen ob T stetig in 0 ist.
dann komme ich auf sowas:
Gelte ||x-0|| [mm] \le \delta [/mm] dann ist zz. [mm] ||T(x)||_{F} \le \epsilon [/mm]

hierzu muss ich ja nun irgendwie ||x|| mit [mm] ||x||_{F} [/mm] vergleichen können, da fehlt mir aber die Idee.

Hat jemand einen Tipp?
Wo sollte ich drauf rumdenken?

        
Bezug
lin.Abb. des R^n sind stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Di 29.06.2010
Autor: gfm


> Beh.: Jede lineare Funktion T: [mm]\IR^{n} \rightarrow[/mm] F des
> [mm]\IR^{n}[/mm] in einen normierten Raum F ist stetig.
>  Hallo.
>  
> Als Tipp habe ich noch gegeben, dass je zwei Normen des
> [mm]\IR^{n}[/mm] äquivalent sind.
>  
> Wahrscheinlich ist es am einfachsten zu prüfen, dass T
> beschränkt ist.
>  
> Also versuche ich mal zz [mm]||T(x)||_{F} \le[/mm] C||x|| für ein C
> [mm]\ge[/mm] 0
>  
> und es gilt ja [mm]||T(x)||_{F} \le ||T||_{F} ||x||_{F}[/mm]
>  
>
> Mehr fällt mir nicht ein.
> Den Tipp kann ich auch noch nicht unterbringen (müsste den
> Fall doch aber auf einen einzige Norm z.b. die Euklidische
> Norm einschränken oder?)
>  
> andererseits kann ich auch prüfen ob T stetig in 0 ist.
>  dann komme ich auf sowas:
>  Gelte ||x-0|| [mm]\le \delta[/mm] dann ist zz. [mm]||T(x)||_{F} \le \epsilon[/mm]
>
> hierzu muss ich ja nun irgendwie ||x|| mit [mm]||x||_{F}[/mm]
> vergleichen können, da fehlt mir aber die Idee.
>  
> Hat jemand einen Tipp?
>  Wo sollte ich drauf rumdenken?

Da T linear ist, muss man nur die Stetigkeit bei 0 zeigen. Wenn [mm] x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k [/mm] eine Nullfolge ist, muss daraus folgen, dass [mm] y^{(n)}:=Tx^{(n)} [/mm] auch eine ist. Jedes [mm] x^{(n)} [/mm] hat bezüglich einer Basis [mm] \{e^{(j)}:j=1,...,k\} [/mm] eine Darstellung [mm] \summe_{j=1}^kx^{(n)}_je^{(j)}. [/mm] Wenn man das und die Äquivalenz der [mm]\IR^k[/mm]-Normen explizit ausnutzt, sollte man zum Ziel gelangen.

LG

gfm


Bezug
                
Bezug
lin.Abb. des R^n sind stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Mi 30.06.2010
Autor: carlosfritz


> Da T linear ist, muss man nur die Stetigkeit bei 0 zeigen.
> Wenn [mm]x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k[/mm] eine Nullfolge ist, muss
> daraus folgen, dass [mm]y^{(n)}:=Tx^{(n)}[/mm] auch eine ist. Jedes
> [mm]x^{(n)}[/mm] hat bezüglich einer Basis [mm]\{e^{(j)}:j=1,...,k\}[/mm]
> eine Darstellung [mm]\summe_{j=1}^kx^{(n)}_je^{(j)}.[/mm] Wenn man
> das und die Äquivalenz der [mm]\IR^k[/mm]-Normen explizit ausnutzt,
> sollte man zum Ziel gelangen.
>  
> LG
>  
> gfm
>  

Hallo,
erstmal vielen Dank.

Es gilt ja T(0) = 0 und ||0||=0

Ich muss nun zeigen, dass lim [mm] T((x^{(n)})=0 [/mm]

Da T linear ist kann ich [mm] T(x^{(n)}) [/mm] berechnen als [mm] T(x_{1}^{(n)}e^{(1)}) +...+T(x_{k}^{(n)}e^{(k)}) [/mm]

also muss ich zeigen lim [mm] T(x_{j}^{(n)}e^{(j)})=0 [/mm]

Ich weiss einfach nicht was ich mit dem Raum F anfangen soll. F muss ja nicht ein [mm] \IR^{m} [/mm] sein, daher weiss ich auch nicht, wie ich das mit den Normen ausnutzen soll?

Das einzige was ich sagen kann ist, dass [mm] ||x^{(n)}|| \rightarrow [/mm] 0 geht für jede Norm auf [mm] R^{k} [/mm]

kann ich einfach sagen, dass [mm] x_{j}^{(n)} [/mm] ein Skalar aus [mm] \IR [/mm] ist und ich das somit "herausziehen" kann.
Also  [mm] T(x_{j}^{(n)}e^{(j)}) [/mm] =  [mm] x_{j}^{(n)}T(e^{(j)}) [/mm] und somit lim [mm] x_{j}^{(n)}T(e^{(j)})= 0*T(e^{(j)}) [/mm] = 0 ?
Das erscheint mir aber irgendwie 'merkwürdig'! ?

Bezug
                        
Bezug
lin.Abb. des R^n sind stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Mi 30.06.2010
Autor: gfm


> > Da T linear ist, muss man nur die Stetigkeit bei 0 zeigen.
> > Wenn [mm]x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k[/mm] eine Nullfolge ist, muss
> > daraus folgen, dass [mm]y^{(n)}:=Tx^{(n)}[/mm] auch eine ist. Jedes
> > [mm]x^{(n)}[/mm] hat bezüglich einer Basis [mm]\{e^{(j)}:j=1,...,k\}[/mm]
> > eine Darstellung [mm]\summe_{j=1}^kx^{(n)}_je^{(j)}.[/mm] Wenn man
> > das und die Äquivalenz der [mm]\IR^k[/mm]-Normen explizit ausnutzt,
> > sollte man zum Ziel gelangen.
>  >  
> > LG
>  >  
> > gfm
>  >  
>
> Hallo,
>  erstmal vielen Dank.
>  
> Es gilt ja T(0) = 0 und ||0||=0
>  
> Ich muss nun zeigen, dass lim [mm]T((x^{(n)})=0[/mm]
>  
> Da T linear ist kann ich [mm]T(x^{(n)})[/mm] berechnen als
> [mm]T(x_{1}^{(n)}e^{(1)}) +...+T(x_{k}^{(n)}e^{(k)})[/mm]
>  
> also muss ich zeigen lim [mm]T(x_{j}^{(n)}e^{(j)})=0[/mm]
>  
> Ich weiss einfach nicht was ich mit dem Raum F anfangen
> soll. F muss ja nicht ein [mm]\IR^{m}[/mm] sein, daher weiss ich
> auch nicht, wie ich das mit den Normen ausnutzen soll?
>  
> Das einzige was ich sagen kann ist, dass [mm]||x^{(n)}|| \rightarrow[/mm]
> 0 geht für jede Norm auf [mm]R^{k}[/mm]
>  
> kann ich einfach sagen, dass [mm]x_{j}^{(n)}[/mm] ein Skalar aus [mm]\IR[/mm]
> ist und ich das somit "herausziehen" kann.
>  Also  [mm]T(x_{j}^{(n)}e^{(j)})[/mm] =  [mm]x_{j}^{(n)}T(e^{(j)})[/mm] und
> somit lim [mm]x_{j}^{(n)}T(e^{(j)})= 0*T(e^{(j)})[/mm] = 0 ?
>  Das erscheint mir aber irgendwie 'merkwürdig'! ?

Wir haben als Voraussetzung [mm]x^{(n)}\in\IR^k\to 0\in\IR^k[/mm], d.h. [mm]||x^{(n)}||_{\IR^k}^{(2)}\to 0\in\IR[/mm], und wollen zeigen, dass [mm]Tx^{(n)}\in F\to 0\in F[/mm], d.h. [mm]||Tx^{(n)}||_{F}\to 0\in\IR[/mm] ([mm]||.||_{\IR^k}^{(2)}[/mm] soll die euklidische Norm im [mm]\IR^k[/mm] bezeichnen).

Nun ist

[mm]||Tx^{(n)}||_{F}=||T\summe_{i=1}^k x^{(n)}_ie^{(i)}||_{F}\le\summe_{i=1}^k|x^{(n)}_i|*||Te^{(i)}||_{F}\le ||x^{(n)}||_{\IR^k}^{(\infty)}*M[/mm]

mit [mm]M:=k*\max_{i=1,...,k}||Te^{(i)}||_{F}[/mm] ([mm]||.||_{\IR^k}^{(\infty)}[/mm] soll die Maximumnorm im [mm]\IR^k[/mm] bezeichnen).

Was meinst Du?

LG

gfm



Bezug
                                
Bezug
lin.Abb. des R^n sind stetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Mi 30.06.2010
Autor: carlosfritz

alles klar, dann war ich ja eigentlich garnichtmal auf dem falschen Weg.

Damit komme ich nun zu Recht :)
Danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]