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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 So 28.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
| Aufgabe | f: [mm] \IR^2\to \IR^2
[/mm]
Lineare Abbildung, oder nicht? Wenn ja, konstruiere lin. Abb. mit Angabe von [mm] f((x_{1},x_{2}) [/mm] für beliebige [mm] (x_{1},x_{2})\in\IR^2
[/mm]
Berechne Kern und Bild von f
f((1,3))=(4,6), f((2,1))=(3,2), f((4,7))=(11,14) |
Hi :)
ich hab versucht nachzuprüfen, ob das eine lin. Abb. ist.
(2,1)=(4,7)-2*(1,3)
[mm] \Rightarrow [/mm] f((4,7)-2*(1,3))=f(2,1)=(3,2) und f(4,7)-f*2*(1,3)=(11,14)-(8,12)=(3,2) [mm] \Rightarrow [/mm] Axiom [mm] \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) [/mm] ist richtig
Beim 2. Axiom mit [mm] \varphi(a*v)=a*\varphi(v) [/mm] weiß ich nicht so recht, weil das, woran ich denke, zu einfach gedacht ist, aber die Musterlösung versteh ich wiederum nicht.
Hier die Musterlösung:
f(11,14)=f(4,7)=2*f(1,3)+f(2,1)=2(4,6)+(3,2) - den Schritt versteh ich noch
[mm] (1,0)=-\bruch{1}{5}(1,3)+\bruch{3}{5}(2,1)
[/mm]
[mm] (0,1)=\bruch{3}{5}(1,3)-\bruch{1}{5}(2,1)
[/mm]
[mm] f(x,y)=x*f(1,0)+y*f(0,1)=-\bruch{1}{5}*x*f(1,3)+\bruch{3}{5}*x*f(2,1)+\bruch{2}{5}*y*f(1,3)=\bruch{1}{5}*y*f(2,1)=... [/mm] =(x+y,2y)
[mm] \Rightarrow x+y=0\wedge [/mm] 2y=0
Kern(f)=(0,0)
Bild: [mm] \IR^2
[/mm]
Was ich von diesem Schritt verstehe ist nur, dass (0,1) und (1,0) benutzt und ersetzt werden, weil wir uns im [mm] \IR^2 [/mm] befinden, aber was meint man überhaupt damit, dass man eine "lin. Abb. mit Angabe von [mm] f((x_{1},x_{2}) [/mm] für beliebige [mm] (x_{1},x_{2})\in\IR^2" [/mm] konstruieren soll?
Und wieso weist man [mm] \varphi(a*v)=a*\varphi(v) [/mm] nicht nach?
... Wieder mal nix verstanden :(
Gruß,
s-jojo
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> f: [mm]\IR^2\to \IR^2[/mm]
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> Lineare Abbildung, oder nicht? Wenn ja, konstruiere lin.
> Abb. mit Angabe von [mm]f((x_{1},x_{2})[/mm] für beliebige
> [mm](x_{1},x_{2})\in\IR^2[/mm]
> Berechne Kern und Bild von f
>
> f((1,3))=(4,6), f((2,1))=(3,2), f((4,7))=(11,14)
> Hi :)
>
> ich hab versucht nachzuprüfen, ob das eine lin. Abb. ist.
>
> (2,1)=(4,7)-2*(1,3)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f((4,7)-2*(1,3))=f(2,1)=(3,2) und
> f(4,7)-f*2*(1,3)=(11,14)-(8,12)=(3,2) [mm]\Rightarrow[/mm] Axiom
> [mm]\varphi(\red{lambda}a+\red{\mu}b)=\red{lambda}\varphi(a)+\red{\mu}\varphi(b)[/mm] ist richtig
Hallo,
Du hast das richtig gemacht.
Ausführlicher: [mm] (\vektor{4\\7}, \vektor{1\\3}) [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Durch die Angabe der Funktionswerte auf dieser Basis ist die lineare Abbildung f eindeutig bestimmt.
Um zu prüfen, ob es eine lineare Abbildung mit den gegebenen Funktionswerten geben kann, muß man prüfen, ob der dritte der Funktionswerte der Linearitätsbedingung genügt: nun Deine Rechnung von oben.
Damit ist bereits gesichert, daß solch eine lineare Abbildung f existiert.
> Beim 2. Axiom mit [mm]\varphi(a*v)=a*\varphi(v)[/mm]
??? Ich weiß nicht, woran Du denkst.
Oben kommt es erstmal drauf an zu zeigen, daß der dritte Wert der Linearitätsbedingung gehorcht, das hast Du getan.
>weiß ich nicht
> so recht, weil das, woran ich denke, zu einfach gedacht
> ist, aber die Musterlösung versteh ich wiederum nicht.
>
> Hier die Musterlösung:
> f(11,14)=f(4,7)=2*f(1,3)+f(2,1)=2(4,6)+(3,2) - den Schritt
> versteh ich noch
Gut. Die machen das, was Du oben auch getan hast.
Nächstes Ziel:
man will nun die lineare Abbildung in der Gestalt [mm] f(\vektor{x\\y})= [/mm] ... angeben.
Idee:
[mm] f(\vektor{x\\y})=f(x*\vektor{1\\0}+y*\vektor{0\\1})=x*f(\vektor{1\\0})+y*f(\vektor{0\\1}).
[/mm]
Man braucht also [mm] f(\vektor{1\\0}) [/mm] und [mm] f(\vektor{0\\1}).
[/mm]
Um diese Funktionswerte zu bekommen, wird nun [mm] \vektor{1\\0} [/mm] also Linearkombination der Basisvektoren [mm] \vektor{1\\3} [/mm] und [mm] \vektor{2\\1} [/mm] geschrieben.
Mithilfe der Linearität von f bekommt man hieraus den Funktionswert [mm] f(\vektor{1\\0}).
[/mm]
Für [mm] \vektor{0\\1} [/mm] analog:
> [mm](1,0)=-\bruch{1}{5}(1,3)+\bruch{3}{5}(2,1)[/mm]
> [mm](0,1)=\bruch{3}{5}(1,3)-\bruch{1}{5}(2,1)[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=x*f(1,0)+y*f(0,1)=-\bruch{1}{5}*x*f(1,3)+\bruch{3}{5}*x*f(2,1)+\bruch{2}{5}*y*f(1,3)...[/mm] =(x+y,2y)
Alles klar jetzt bis hier?
Zur Kernbestimmung wird nun geschaut, welche vektoren [mm] \vektor{x\\y} [/mm] auf den Nullvektor abgebildet werden:
>
> [mm]\Rightarrow x+y=0\wedge[/mm] 2y=0
>
> Kern(f)=(0,0)
> Bild: [mm]\IR^2[/mm],
denn ???
>
> Was ich von diesem Schritt verstehe ist nur, dass (0,1) und
> (1,0) benutzt und ersetzt werden, weil wir uns im [mm]\IR^2[/mm]
> befinden, aber was meint man überhaupt damit, dass man
> eine "lin. Abb. mit Angabe von [mm]f((x_{1},x_{2})[/mm] für
> beliebige [mm](x_{1},x_{2})\in\IR^2"[/mm] konstruieren soll?
S.o.: daß Du [mm] f(\vektor{x_1\\x_2})= [/mm] ... explizit angeben sollst.
>
> Und wieso weist man [mm]\varphi(a*v)=a*\varphi(v)[/mm] nicht nach?
Wenn Du eine Abbildung f gegeben hättest mit einer bestimmten Funktionsvorschrift, etwa [mm] f(\vektor{x\\y})=\vektor{x+y\\2y\\x+4y+3} [/mm] und sagen solltest, ob sie linear ist, müßtest Du beide Linearitätsbedingungen nachweisen.
Die Aufgabenstellung hier ist aber komplett anders:
Du hast lediglich drei Funktionswerte gegeben, und sollst zunächst sagen, ob es prinzipiell möglich ist, daß eine lineare Abbildung mit diesen drei Funktionswerten existiert.
Das hast Du getan.
Als nächstes wird die Abbildung dann konstruiert, also eine Abbildungsvorschrift gebastelt für eine Funktion, die 1. linear ist, und 2. die drei (bzw. zwei) vorgegebenen Funktionswerte annimmt.
Bei dieser Konstruktion berücksichtigt man, daß die Linearitätsbedingungen gelten müssen.
Also: es ist nicht die Linearität einer Funktion zu prüfen, sondern eine lineare Funktion zu konstruieren.
Wenn ich diese Funktion von [mm] \IR^2\to \IR^2 [/mm] baue:
[mm] f(\vektor{x\\y}):=\begin{cases} \vektor{4\\6}, & \mbox{für } \vektor{x\\y}=\vektor{1\\3} \\\vektor{3\\2}, & \mbox{für } \vektor{x\\y}=\vektor{2\\1} \\\vektor{11\\14}, & \mbox{für } \vektor{x\\y}=\vektor{4\\7} \\ \vektor{0\\0}, & \mbox{sonst } \end{cases},
[/mm]
dann habe ich zwar eine Abbildung, die die vorgegebenen Funktionswerte hat, aber linear ist sie nicht.
Ich habe die gegebenen Funktionswerte nicht zu einer linearen Funktion fortgesetzt.
Gruß v. Angela
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