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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Für welche a [mm] \in \IR [/mm] besitzt das lineare Gleichungssystem
(4-a) [mm] x_{1} [/mm] + a [mm] x_{2} [/mm] = 1
[mm] 4x_{1} [/mm] + (a+2) [mm] x_{2} [/mm] = a
genau eine Lösung , keine Lösung bzw. mehr als eine Lösung ? |
Also ich hab erst mal mir das System als Matrix aufgeschrieben :
A= [mm] \pmat{ (4-a) & a \\ 4 & (a+2) }
[/mm]
und die erweiterte Matrix :
[mm] A\* [/mm] = [mm] \pmat{ (4-a) & a & | 1 \\ 4 & (a+2) & | a }
[/mm]
Ich weit dass das lin. Gleichungssytem lösbar ist wenn der Rang von [mm] A\* [/mm] = rang von A.
Aber irgendwie komm ich hier nicht weiter.
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Hallo Ayame,
> Für welche a [mm]\in \IR[/mm] besitzt das lineare Gleichungssystem
>
> (4-a) [mm]x_{1}[/mm] + a [mm]x_{2}[/mm] = 1
> [mm]4x_{1}[/mm] + (a+2) [mm]x_{2}[/mm] = a
>
> genau eine Lösung , keine Lösung bzw. mehr als eine
> Lösung ?
> Also ich hab erst mal mir das System als Matrix
> aufgeschrieben :
>
> A= [mm]\pmat{ (4-a) & a \\ 4 & (a+2) }[/mm]
>
> und die erweiterte Matrix :
>
> [mm]A\*[/mm] = [mm]\pmat{ (4-a) & a & | 1 \\ 4 & (a+2) & | a }[/mm]
>
> Ich weit dass das lin. Gleichungssytem lösbar ist wenn der
> Rang von [mm]A\*[/mm] = rang von A. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber irgendwie komm ich hier nicht weiter.
Reche es doch geradeheraus herunter, du hast ja nur 2 Gleichungen:
Nimm die mal das Matrixsystem mit der erweiterten Matrix und bringe es in Zeilenstufenform.
Da bekommst du "nette" Ausdrücke in a und [mm] a^2, [/mm] die du faktorisieren kannst und dann die Lösbarkeit ablesen kannst ...
Beginne damit, das $-4$-fache der 1.Zeile zum $(4-a)$-fachen der 2.Zeile zu addieren...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Super dann war schon mal der ansatz Ok :)
Also ich versuche jetzt die erweiterte matrix in die stufenform zu bringen :
[mm] \pmat{ (4-a) & a & |1 \\ 4 & (a+2) & |a }
[/mm]
----------------------------------
Ich multipliziere die erste Zeile mit -4 und die 2.Zeile mit (4-a)
[mm] \pmat{ -4*(4-a) & -4a &| -4\\ 4*(4-a) & (4-a)(a+2) &|(4-a)*a } [/mm]
----------------------------------
Ich addiere die 1. Zeile zur 2. zeile
[mm] \pmat{ -4(4-a) & -4a &| -4 \\ 0 & -a^{2}-2a+8 &|(4a-a^{2})-4 }
[/mm]
Ich bion noch nicht so erfahren im umgang mit Matrizen. Reicht mir diese Stufenform um sagen zu können dass es sich um eine metrix des rangs 2 handelt ?
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Hallo nochmal,
> Super dann war schon mal der ansatz Ok :)
>
> Also ich versuche jetzt die erweiterte matrix in die
> stufenform zu bringen :
>
> [mm]\pmat{ (4-a) & a & |1 \\ 4 & (a+2) & |a }[/mm]
>
> ----------------------------------
> Ich multipliziere die erste Zeile mit -4 und die 2.Zeile
> mit (4-a)
>
> [mm]\pmat{ -4*(4-a) & -4a &| -4\\ 4*(4-a) & (4-a)(a+2) &|(4-a)*a }[/mm]
>
> ----------------------------------
> Ich addiere die 1. Zeile zur 2. zeile
>
> [mm]\pmat{ -4(4-a) & -4a &| -4 \\ 0 & -a^{2}-2a+8 &|(4a-a^{2})-4 }[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Sehr schön, nun teile Zeile 1 wieder durch -4, das stört nur 
Und in Zeile 2 faktorisiere, das gibt:
[mm] $\pmat{ 4-a & a & \mid & 1 \\ 0 & -(a+4)\cdot{}(a-2) &\mid&-(a-2)^2 }$
[/mm]
>
> Ich bion noch nicht so erfahren im umgang mit Matrizen.
> Reicht mir diese Stufenform um sagen zu können dass es
> sich um eine metrix des rangs 2 handelt ?
Diese Untersuchung führe nun an der Matrix durch, schaue dir die 2.Zeile an.
Was ist, wenn 1.Fall: $a=2$ ist?
Dann steht dort 0=0, die Matrix hat Rang 1 und du hast unendlich viele Lösungen.
Wie sehen die aus?
2.Fall $a=-4$
Dann steht in der letzten Zeile was?
Was sagt das über die Lösbarkeit?
3. und letzer Fall: [mm] $a\neq [/mm] -4,2$
Dann sind die Faktoren in der 2.Zeile beide [mm] \neq [/mm] 0 und du darfst den ganzen Klumpatsch durch $-(a+4)(a-2)$ teilen und bekommst eine eind. Lösung für jedes [mm] $a\neq [/mm] -4,2$
Nämlich welche?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Ayame |
zum 3.Fall : a [mm] \not= [/mm] 2 , -4
[mm] 0x_{1} [/mm] + [-(a+4) [mm] (a-2)]x_{2} [/mm] = - [mm] (a-2)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] [-(a+4) [mm] (a-2)]x_{2} [/mm] = - [mm] (a-2)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{- (a-2)^{2}}{-(a+4) (a-2)]}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{(a-2)}{(a+4)}
[/mm]
Also ist die eideutige lösung des lin. Gleichungssystems : [mm] x_{1}= [/mm] 0 und [mm] x_{2}= \bruch{(a-2)}{(a+4)}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> zum 3.Fall : a [mm]\not=[/mm] 2 , -4
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> [mm]0x_{1}[/mm] + [-(a+4) [mm](a-2)]x_{2}[/mm] = - [mm](a-2)^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [-(a+4) [mm](a-2)]x_{2}[/mm] = - [mm](a-2)^{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{- (a-2)^{2}}{-(a+4) (a-2)]}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{(a-2)}{(a+4)}[/mm]
>
> Also ist die eideutige lösung des lin. Gleichungssystems :
> [mm]x_{1}=[/mm] 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und [mm]x_{2}= \bruch{(a-2)}{(a+4)}[/mm]
In der 1.Gleichung steht doch
[mm] $(4-a)x_1+a\cdot{}x_2=1$
[/mm]
Da setze mal die Lösung für [mm] $x_2$ [/mm] ein und berechne [mm] $x_1$
[/mm]
Ich komme da nicht auf 0 ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ja natürlich. Hast recht
dann habe ich :
[mm] (4-a)x_{1} [/mm] + a [mm] x_{2} [/mm] = 1
[mm] (4-a)x_{1} [/mm] + [mm] a(\bruch{(a-2)}{(a+4}) [/mm] = 1
(4-a) [mm] x_{1} [/mm] = 1 - [mm] (\bruch{a*(a-2)}{a+4})
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1- (\bruch{a*(a-2)}{a+4})}{4-a}
[/mm]
kann ich denn irgendwie vereinfachen ?
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Hallo nochmal,
> Ja natürlich. Hast recht
>
> dann habe ich :
>
> [mm](4-a)x_{1}[/mm] + a [mm]x_{2}[/mm] = 1
> [mm](4-a)x_{1}[/mm] + [mm]a(\bruch{(a-2)}{(a+4})[/mm] = 1
> (4-a) [mm]x_{1}[/mm] = 1 - [mm](\bruch{a*(a-2)}{a+4})[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1- (\bruch{a*(a-2)}{a+4})}{4-a}[/mm]
>
> kann ich denn irgendwie vereinfachen ?
Na klar, gleichnamig machen im Zähler und dann den Doppelbruch auflösen.
Ich komme auf [mm] $x_1=\frac{a+1}{a+4}$
[/mm]
Aber ohne Gewähr
Gruß
schachuzipus
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