lin. abb. : ker(T)=Im(T) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine lineare Transformation [mm] T:\IR^2\to\IR^2 [/mm] so dass Ker(T)=Im(T). |
Hallo,
mein Vorschlag wäre:
[mm] T(x_1,x_2)=(0,0)
[/mm]
Das ist aber mehr intuitiv. Wie kann man da schrittweise herangehen ?
In der Lösung wird angegeben [mm] T(x_1,x_2)=(x_2,0) [/mm] ist meine Idee auch korrekt, ich meine ja.
Aber bekanntlich irrt der Mensch ja solang' er strebt...
Lg
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> Geben Sie ein Beispiel für eine lineare Transformation
> [mm]T:\IR^2\to\IR^2[/mm] so dass Ker(T)=Im(T).
> Hallo,
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> mein Vorschlag wäre:
>
> [mm]T(x_1,x_2)=(0,0)[/mm]
> Das ist aber mehr intuitiv.
Hallo,
das wäre ja zunächst mal nichts Schlechtes.
Der Haken: es stimmt nicht...
Was ist denn bei Deiner Abbildung der Kern und was das Bild?
> Wie kann man da schrittweise
> herangehen ?
Zunächst mal könnte man sich überlegen, welche Dimension Kern und Bild überhaupt haben können.
Ergebnis der Bemühungen: die Dimension muß =1 sein - die unvermeidliche Frage: weshalb?
So, nun könnte man ja mal beschließen, daß der Kern die Basis [mm] \vektor{7\\13} [/mm] haben soll, und das Bild ebenfalls.
Ergänze diesen Vektor zu einer Basis des [mm] \IR^2, [/mm] und dann sag', wie so eine Abbildung aussehen könnte.
Gruß v. Angela
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> In der Lösung wird angegeben [mm]T(x_1,x_2)=(x_2,0)[/mm] ist meine
> Idee auch korrekt, ich meine ja.
>
> Aber bekanntlich irrt der Mensch ja solang' er strebt...
>
> Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Mo 22.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Angela:
Überlege Dir, dass für eine lineare Abbildung $ [mm] T:\IR^2\to\IR^2 [/mm] $ folgendes gilt:
(*) Im(T) = kern(T) [mm] \gdw [/mm] $T [mm] \ne [/mm] 0$ und [mm] $T^2 [/mm] =0$
Für T kannst Du ansetzen [mm] $T=\pmat{ a & b \\ c & d }$. [/mm] Berechne [mm] T^2. [/mm] Aus [mm] T^2 [/mm] =0 erhälst Du ein (nicht lineares) Gleichngssystem, das einfach zu lösen ist.
Mit (*) kannst Du dann alle T bestimmen mit Im(T) = kern(T).
FRED
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Hallo fred,
danke für deine Ergänzung.
> Ergänzend zu Angela:
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> Überlege Dir, dass für eine lineare Abbildung
> [mm]T:\IR^2\to\IR^2[/mm] folgendes gilt:
>
> (*) Im(T) = kern(T) [mm]\gdw[/mm] [mm]T \ne 0[/mm] und [mm]T^2 =0[/mm]
Woher weiß ich das ? Wäre es für [mm] T:\IR^3\to\IR^3 [/mm]
Im(T)=Ker(T) [mm] \gdw T\not=0 [/mm] und [mm] T^3=0 [/mm] ?
Habe den Grund für diese Äquivalenz noch nicht gefunden.
> Für T kannst Du ansetzen [mm]T=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm].
> Berechne [mm]T^2.[/mm] Aus [mm]T^2[/mm] =0 erhälst Du ein (nicht lineares)
> Gleichngssystem, das einfach zu lösen ist.
>
> Mit (*) kannst Du dann alle T bestimmen mit Im(T) =
> kern(T).
>
> FRED
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> Hallo fred,
>
> danke für deine Ergänzung.
>
> > Ergänzend zu Angela:
> >
> > Überlege Dir, dass für eine lineare Abbildung
> > [mm]T:\IR^2\to\IR^2[/mm] folgendes gilt:
> >
> > (*) Im(T) = kern(T) [mm]\gdw[/mm] [mm]T \ne 0[/mm] und [mm]T^2 =0[/mm]
>
> Woher weiß ich das ? Wäre es für [mm]T:\IR^3\to\IR^3[/mm]
>
> Im(T)=Ker(T) [mm]\gdw T\not=0[/mm] und [mm]T^3=0[/mm] ?
>
Nein, damit hat das nichts zu tun. Die Eigenschaften für T folgen eigentlich unmittelbar. Dass T nicht die Nullabbildung sein kann, ist klar. Außerdem gilt mit einem v [mm] \in \IR^2 [/mm] , T(v) [mm] \in [/mm] Im(T)=Kern(T). Und damit sofort
[mm] T(T(v))=T^2(v)=0
[/mm]
> Habe den Grund für diese Äquivalenz noch nicht gefunden.
>
> > Für T kannst Du ansetzen [mm]T=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm].
> > Berechne [mm]T^2.[/mm] Aus [mm]T^2[/mm] =0 erhälst Du ein (nicht lineares)
> > Gleichngssystem, das einfach zu lösen ist.
> >
> > Mit (*) kannst Du dann alle T bestimmen mit Im(T) =
> > kern(T).
> >
> > FRED
>
> Lg
Gruß,
Doing
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mo 22.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Doing hat Dir die eine Richtung vorgemacht, ich mache Dir die andere vor:
Sei $T [mm] \ne [/mm] 0$ und [mm] $T^2=0$
[/mm]
Ist y [mm] \in [/mm] Im(T), so ex. ein x [mm] \in \IR^2 [/mm] mit y=Tx. Dann ist Ty= T^2x = 0, also y [mm] \in [/mm] ker(T)
Wir haben also: Im(T) [mm] \subseteq [/mm] kern(T)
Wegen T [mm] \ne [/mm] 0 ist 1 [mm] \le [/mm] dim(Im(T)). Wäre nun Im(T) [mm] \ne [/mm] ker(T), so hätten wir dim(ker(T))=2, also ker(T) = [mm] \IR^2, [/mm] im Widerspruch zu T [mm] \ne [/mm] 0
FRED
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