linarkombination < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mo 03.11.2008 | | Autor: | blumee |
Hallo,
ich schreibe morgen eine entscheidende Mathearbeit und komme bei der Aufgabe nicht weiter (wird wohl so ähnlich gestellt werden):
Für welche t lässt sich x als Linearkombination von a, b und c darstellen?
x(1|01|1)
a(1|0|-2)
b(0|-1|t-2)
c(-2|-t|3)
Kann ich diese Aufgabe nur als Gleichungssystem lösen, also
x = lamda1*a + lambda2 *b + lamdba3 *c
Weil hier komme ich nie auf Ergebnisse.
Ich habe als geratene Lösung schon t = 0 raus, aber es gibt bestimmt noch weitere.
Bitte helft mir so schnell als nur möglich, danke!!
|
|
| |
|
> Für welche t lässt sich x als Linearkombination von a, b
> und c darstellen?
>
> x(1|01|1)
mit "01" ist einfach "1" gemeint, oder ??
> a(1|0|-2)
>
> b(0|-1|t-2)
>
> c(-2|-t|3)
>
> Kann ich diese Aufgabe nur als Gleichungssystem lösen,
> also
>
> x = lamda1*a + lambda2 *b + lamdba3 *c
Nehmen wir anstatt der Lambdas lieber u,v,w !
Dann haben wir die vektorielle Gleichung:
[mm] u*\vektor{1\\0\\-2}+v*\vektor{0\\-1\\t-2}+w*\vektor{-2\\-t\\3}=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
in einzelne Gleichungen aufgelöst:
(1) $\ u-2w=1$
(2) $\ -v-t*w=1$
(3) $\ -2u+(t-2)*v+3w=1$
Man kann die erste Gleichung verwenden, um u zu eliminieren.
Dann verbleiben die Gleichungen:
(2) $\ -v - t*w = 1$
(3*) $\ (t-2)*v\ - w\ = 3$
$t\ *$(3*)-(2) ergibt die Gleichung:
(4) [mm] (t^2-2t+1)*v=3t-1
[/mm]
oder (4) [mm] (t-1)^2*v=3t-1
[/mm]
Nun kommt die entscheidende Überlegung:
Für t=1 wird der Faktor vor dem v gleich null,
und man hat die Gleichung $\ 0*v=2$ , die natürlich
unlösbar ist.
Ist aber $\ [mm] t\not=1$, [/mm] so ergibt sich $\ [mm] v=\bruch{3t-1}{(t-1)^2}$
[/mm]
Auch $\ w=(t-2)*v-3 $ und $\ u=2w+1$ sind dann wohlbestimmte
reelle Zahlen und definieren eine entsprechende
Linearkombination $\ u*a+v*b+w*c=x$
Ergebnis ist also: Die Darstellung ist für alle [mm] t\in \IR\backslash\{1\}
[/mm]
möglich, und dann ist sie jeweils auch eindeutig bestimmt.
LG al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:12 Mo 03.11.2008 | | Autor: | blumee |
Hallo,
das hei´t für t=2 müsste es eine Lösung geben.
Aber ich erhalte dann Widersprüche in meinem Gleichungssystem...
danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo blumee!
Dann rechne das doch mal bitte hier vor ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
