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| Aufgabe | Jemand behauptet, wenn n Vektoren linear abhaengig sind kann man jeden durch die anderen
darstellen.
Nimm formal dazu Stellung. |
Hi!
Ich hätte das jetzt so formal "bewiesen".
Wenn die 4 Vektoren a,b,c,d linear abhängig sind gilt:
va + xb + yc = zd
Man könnte nun jeden einzelnen der Vektoren durch die anderen darstellen durch umstellen der Gleichung.
z.B. va = zd - xb - yc
Vorraussetzung: v,z,x und y müssen ungleich 0 sein.
Also: Die Aussage stimmt nicht, da einer der Koeffizienten 0 sein kann.
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Hi, nahpets,
(kennst Du übrigens leduart?),
> Jemand behauptet, wenn n Vektoren linear abhaengig sind
> kann man jeden durch die anderen
> darstellen.
> Nimm formal dazu Stellung.
> Hi!
>
> Ich hätte das jetzt so formal "bewiesen".
>
> Wenn die 4 Vektoren a,b,c,d linear abhängig sind gilt:
>
> va + xb + yc = zd
>
> Man könnte nun jeden einzelnen der Vektoren durch die
> anderen darstellen durch umstellen der Gleichung.
>
> z.B. va = zd - xb - yc
>
> Vorraussetzung: v,z,x und y müssen ungleich 0 sein.
Diese Voraussetzung stimmt nicht! Es dürfen bei linearer Abhängigkeit nur nicht ALLE Konstanten =0 sein; einzelne dürfen dies aber schon!
Deine Schlussfolgerung aber stimmt:
DIE OBIGE AUSSAGE IST FALSCH,
was sich leicht durch ein (formales!) Gegenbeispiel zeigen lässt.
Nehmen wir 3 Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] des [mm] \IR^{3},
[/mm]
wobei [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] k*\vec{a} [/mm] (k [mm] \not= [/mm] 0), aber [mm] \vec{c} \not= r*\vec{a}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] k*\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] 0*\vec{c} [/mm] = [mm] \vec{o},
[/mm]
d.h. die 3 Vektoren sind jedenfalls linear abhängig.
Dennoch lässt sich [mm] \vec{c} [/mm] nicht durch die andern beiden darstellen!
mfG!
Zwerglein
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