linear Unabhängige Vektoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Es seien [mm] u,v,w\in\IR^3 [/mm] mit u [mm] =(2,1,0)^T, v=(1,-1,2)^T [/mm] und [mm] w=(0,3,-4)^T [/mm] gegeben.
i) Sind die Vektoren linear unabhängig?
ii) Bestimmen Sie z [mm] \in\IR^3 [/mm] so, dass u,v,w linear unabhängig ist. |
Kann mir bitte jemand helfen? Ich weiß was linear unabhängig ist aber ich verstehe nicht wie man bei diesen Aufgaben drauf kommt, in der Schule hatten wir das anders gemacht??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
hi ulla!
um zu prüfen ob vektoren linear unabhängig sind, muss ein lineares gleichungssystem lösen.
heisst man muss prüfen ob das lgs:
[mm] x*\overrightarrow{u}+y*\overrightarrow{v}+z*\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}
[/mm]
eine nicht triviale lösung besitzt, das heisst, das [mm] x\not=y\not=z\not=0 [/mm] ist.
dann kann man entscheiden ob sie unabhängig bzw abhängig sind.
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
ok also müssen die alle zusammen addiert 0 ergeben aber wie ist das weil ^t da steht. hat das eine verändernde Wirkung? Und wie genau schreib ich das dann mit diesen Vektoren?
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ok also müssen die alle zusammen addiert 0 ergeben aber wie
> ist das weil ^t da steht. hat das eine verändernde Wirkung?
Nein, das hat keine verändernde Wirkung.
[mm]\overrightarrow{u}=\left(2, \ 1, \ 0\right)^{T}=\pmat{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> Und wie genau schreib ich das dann mit diesen Vektoren?
Das schreibst Du dann so:
[mm]x*\pmat{2 \\ 1 \\ 0}+y*\pmat{1 \\ -1 \\ 2}+z*\pmat{0 \\ 3 \\ -4}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Dieses Gleichungssystem löst Du dann.
Zur linearen Unabhängigkeit:
Gibt es nur die einzige Lösung x=y=z=0, so sind die Vektoren linear unabhängig.
Existieren weitere Lösungen, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
also ich hab dann :
2x+y=0
x-y+3z=0
2y-4z=0
dann bekomm ich raus dass 0=0 ist also linear unabhängig oder mach ich was falsch und was ist mit der ii) ??
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
> also ich hab dann :
> 2x+y=0
> x-y+3z=0
> 2y-4z=0
> dann bekomm ich raus dass 0=0 ist also linear unabhängig
> oder mach ich was falsch und was ist mit der ii) ??
Die Lösung des Gleichungssystems mußt Du noch mal nachrechnen.
Beim zweiten Teil hat sich aller Wahrscheinlichkeit nach ein Druckfehler eingeschlichen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
ich bekomm es nicht hin bekomm nur wieder 0 raus kannst du mir es vorrechnen??
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
> ich bekomm es nicht hin bekomm nur wieder 0 raus kannst du
> mir es vorrechnen??
Vllt. rechnest du mal vor und wir schauen nach, wo evtl. ein Fehler liegt ...
Die 3 Gleichungen in deinem anderen post stimmen, wenn du dann durch Rumrechnen eine (ich vermute, es war die letzte - bei mir ist das zumindest so  ) Gleichung in (die wahre Aussage) 0=0 überführst, so besagt das nichts anderes, als dass du dann "nur" noch 2 Gleichungen in den 3 Unbekannten [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] hast.
Du kannst dann eine Variable frei belegen, setze zB. [mm] $x_3:=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$ [/mm] und berechne dann die Lösungen für [mm] $x_1,x_2$ [/mm] in Abhängigkeit von $t$
Damit hättest du dann unendlich viele Lösungen für das angesetzte Gleichungssystem (für jedes [mm] $t\in\IR$ [/mm] eine), etwa für $t=1$ ergibt sich dann also eine nicht-triviale LK des Nullvektors, und die Vektoren sind linear abh.
(Das ist auch mein Ergebnis ...)
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
ok also ich hab es mal wieder versucht!
1) 2x+y=0
-2x=y -> 2x-2x=0
2) x-y+3z=0
x+2x+3z=0
3x=-3z
-x=z
-> [mm] x+2x-x=2x\not=0
[/mm]
3)2y-4z=0
-4x+4x =0
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
> ok also ich hab es mal wieder versucht!
> 1) 2x+y=0
> -2x=y -> 2x-2x=0
> 2) x-y+3z=0
> x+2x+3z=0
> 3x=-3z
> -x=z
> -> [mm]x+2x-x=2x\not=0[/mm]
Hier hast Du den Faktor 3 vergessen:
[mm]x+2x-\red{3}x=0[/mm]
Dann stimmt das nämlich auch.
Ich denke, den letzten Schritt hast Du nur zur Kontrolle gemacht.
> 3)2y-4z=0
> -4x+4x =0 [mm]x+2x-x=2x\not=0[/mm]
>
Somit hast Du x und y in Abhängigkeit von z. Und z kann man aus keiner der Gleichungen eindeutig bestimmen.
Nun, welcher Fall liegt dann vor?
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
ich würde sagen, da man z nicht eindeutig bestimmen kann sind die Vektoren linear abhängig.
Dann fehlt noch zu zeigen: z so zu bestimmen dass u,v,z linear unabhängig sind. Dazu hab ich auch keinen Ansatz.
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
> ich würde sagen, da man z nicht eindeutig bestimmen kann
> sind die Vektoren linear abhängig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Dann fehlt noch zu zeigen: z so zu bestimmen dass u,v,z
> linear unabhängig sind. Dazu hab ich auch keinen Ansatz.
Welcher Vektor z ist den mit Sicherheit linear unabhängig zu u und v?
Das ist der jenige Vektor z, der senkrecht auf den Vektoren u und v steht.
Dieser Vektor muß den Gleichungen:
[mm]u \* z =0[/mm] (u skalar z = 0)
[mm]v \* z = 0[/mm] (v skalar z = 0)
genügen.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
dann müsste es ja der Vektor (1,0,0) sein , oder?
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
> dann müsste es ja der Vektor (1,0,0) sein , oder?
Rechne das doch aus, welcher Vektor das ist.
Das Skalarprodukt von zwei Vektoren ist hier erklärt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
wenn ich das so ausrechne bekomm ich was anderes raus :
[mm] \vektor{2\\ 1\\0} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1\\ 2 } [/mm] = 1
ich bin jetzt ein wenig verwirrt.
denn Vektor den ich oben angegeben hatte steht doch senkrecht zu den beiden anderen , aber was rechne ich jetzt hier aus? Ich benötige doch einen Vektor oder?
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
> wenn ich das so ausrechne bekomm ich was anderes raus :
> [mm]\vektor{2\\ 1\\0}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -1\\ 2 }[/mm] = 1
>
> ich bin jetzt ein wenig verwirrt.
> denn Vektor den ich oben angegeben hatte steht doch
> senkrecht zu den beiden anderen , aber was rechne ich
> jetzt hier aus? Ich benötige doch einen Vektor oder?
Sicher benötigst Du einen Vektor z.
[mm]z=\pmat{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}}[/mm]
Löse dann das folgende Gleichungssystem:
[mm]\pmat{2 \\ 1 \\ 0} \* \pmat{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}} = 0[/mm]
[mm]\pmat{1 \\ -1 \\ 2} \* \pmat{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}} = 0[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
so jetzt hab ich es aber hoffentlich:
2z1+z2=0
z1-z2+2z3=0
[mm] \to [/mm] z1=- z2/2 und z3= 3z2/4
ich wähle für z2 = 1
[mm] \to [/mm] z1 = -0,5 , z2 =1 , z3 = 3/4
stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hallo ulla,
> so jetzt hab ich es aber hoffentlich:
>
> 2z1+z2=0
> z1-z2+2z3=0
>
> [mm]\to[/mm] z1=- z2/2 und z3= 3z2/4
> ich wähle für z2 = 1
> [mm]\to[/mm] z1 = -0,5 , z2 =1 , z3 = 3/4
>
> stimmt das?
Ja.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi,
wie macht man das eigentlich bei vier Matrizen aus [mm] R^{2,2}?
[/mm]
Also meine Überlegung wäre:
Man muss die Zahlen aus den Matrizen untereinander schreiben und mit den Zahlen der anderen Matrizen addieren und das ganze dann wiederrum gleich null setzen? Dann das LGS auflösen...
oder liege ich da völlig danebenß
LG
|
|
|
| |
|
> Hi,
> wie macht man das eigentlich bei vier Matrizen aus
> [mm]R^{2,2}?[/mm]
Hallo,
wenn Du auch noch sagen würdest, was Du mit "das" meinst...
Meinst Du die Prüfung auf lineare Unabhängigkeit?
Wenn Du [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] und [mm] \pmat{ 7 & 8 \\ 3 & 4 } [/mm] auf lineare Unabhängigkeit prüfen willst und nicht weißt was Du tun sollst, besinnst Du Dich am besten auf die Definition - eine Strategie, die auch sonst oft nicht übel ist.
Hier mußt Du also prüfen, ob [mm] a\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }+b\pmat{ 7 & 8 \\ 3 & 4 }=\pmat{ 0& 0 \\ 0 & 0 } [/mm] nur die Lösung a=b=0 hat. Das ergibt ein GS mit 4 Gleichungen.
> Also meine Überlegung wäre:
> Man muss die Zahlen aus den Matrizen untereinander
> schreiben und mit den Zahlen der anderen Matrizen addieren
> und das ganze dann wiederrum gleich null setzen? Dann das
> LGS auflösen...
> oder liege ich da völlig danebenß
Wenn Du Dir das Richtige dabei gedacht hast, kann man das schon so machen: Du stellst die matrizen als Koordinatenvektoren bzgl. der Standardbasis des Raumes der 2x2-Matrizen dar und prüfst ihre lineare Unabhängigkeit.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
