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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 20.03.2007 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Sei [mm] \IR_{\le2}[x] [/mm] der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich zwei.
Überprüfe, ob die Polynome linear unabhängig sind.
[mm] p_{1}=-1, [/mm]
[mm] p_{2}=x^2-x,
[/mm]
[mm] p_{3}=x^2+x, [/mm]
[mm] x\varepsilon\IR [/mm] |
Hallo liebe Leute,
das ist ne alte Klausuraufgabe ne Lsg ( nur ne Skizze) hab ich auch, aber vestehen tu ich das nicht so wirklich.
Also das Kriterium für lineare Unabhänigkeit ist ja, dass [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0 [/mm] ist.
so hier wird vorgeschlagen dass man folgendes macht:
Seien [mm] \lambda_{1}\lambda_{2},\lambda_{3}\varepsilon\IR
[/mm]
[mm] \lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}+\lambda_{3}p_{3}=0
[/mm]
soweit so gut das kann ich noch nachvollziehen
<=>
[mm] \lambda_{1}p_{1}(x)+\lambda_{2}p_{2}(x)+\lambda_{3}p_{3}(x)=0 [/mm]
für alle [mm] x\varepsilon\IR
[/mm]
=>
[mm] \lambda_{1}p_{1}(x)+\lambda_{2}p_{2}(x)+\lambda_{3}p_{3}(x)=0 [/mm]
für x [mm] \varepsilon [/mm] {-1,0,1} .....das versteh nicht wirklich oder kann es nur erahnen
wie bekomme ich denn jetzt diese WErte für x?
sind das die Koeffizienten von x der Ploynome?
und der nächste SChritt hier in der Lsg. ist für mich auch nicht wirklich klar:
aber mir würde ja erstmal die ERlärung reichen vll. komme ich ja dann von alleine dahinter.
Vielen Dank gruß hooover
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genau dieselben Schwierigkeiten hatte ich auch.
Also ganz einfach:
kannst Du mit irgendwelchen [mm] \lambda_i [/mm] 's die drei Polynome zu einem Null-Polynom machen. (außer [mm] \lambda_i=0) [/mm] Das heißt nicht nur an (hier max 2 ) Stellen, sonder so dass dort einfach eine Null raus kommt.
Hier beim genauen hinschauen sieht man, dass es nicht möglich ist, die drei Polynome zu einem Null-Polynom zu kombinieren.
Man kann es auch prüfen:
setze drei verschieden x-Werte ein: z.B. x=0,1,-1
Du bekommst drei Vektoren: (-1,-1,-1) (0,0,2) (0,2,0)
Die Vektoren sind l.u.. D.h. aus diesen Dreipolynomen kannst Du an diesen Drei x-Stellen nicht die Null erzeugen, egal was Du machst. --> Lineare Unabhängigkeit der Polynome.
Umgekehrt geht es leider. D.h. Wären die Vektoren an den derei Stellen linear abhängig, würde es nicht bedeuten dass die polynome linear abhängig sind. Denn an anderen x-Stellen könnten l.u. Vektoren rauskommen.
Wie man also lineare abhängigkeit mit Hilfe der linearen Algebra in Vektorweise beweist weis ich leider nicht, und würde es auch gerne wissen
bis dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 20.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> [mm]\lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}+\lambda_{3}p_{3}=0[/mm]
[mm] $\lambda_{1}\vektor{0 \\ 0 \\ -1}+\lambda_{2}\vektor{1 \\ -1 \\ 0}+\lambda_{3}\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
[mm] $\lambda_{2}+\lambda_{3}=0$
[/mm]
[mm] $-\lambda_{2}+\lambda_{3}=0$
[/mm]
[mm] $-\lambda_{1}=0$
[/mm]
Dessen einzige Lösung ist offensichtlich [mm] $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0$.
[/mm]
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