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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen sie folgende Aussage:
Sei V ein K-Vektorraum und [mm]v_1, v_2 \in V[/mm]. Die Familie [mm](v_1, v_2)[/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn [mm](v_1 + v_2, v_1 - v_2)[/mm] linear unabhängig ist |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Hinrichtung, also [mm](v_1, v_2)[/mm] lin. unabh. [mm]\Rightarrow (v_1 + v_2, v_1 - v_2)[/mm] lin. unabh., habe ich schon zeigen können.
Für die Rückrichtung fehlt mir allerdings ein vernünftiger Ansatz. Ich habe schon die direkte Variante und durch Kontraposition probiert. Zum Widerlegen hab ich Beispiele gesucht oder auch versucht es allgemein zu zeigen. Ich bin jedes mal an irgendwas gescheitert.
Wäre nett, wenn ihr einen Gedankenanstoß für mich hättet.
Lieben Gruß und vielen Dank
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> Beweisen oder widerlegen sie folgende Aussage:
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> Sei V ein K-Vektorraum und [mm]v_1, v_2 \in V[/mm]. Die Familie
> [mm](v_1, v_2)[/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn [mm](v_1 + v_2, v_1 - v_2)[/mm]
> linear unabhängig ist
> Hallo,
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> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Die Hinrichtung, also [mm](v_1, v_2)[/mm] lin. unabh. [mm]\Rightarrow (v_1 + v_2, v_1 - v_2)[/mm]
> lin. unabh., habe ich schon zeigen können.
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> Für die Rückrichtung fehlt mir allerdings ein vernünftiger
> Ansatz. Ich habe schon die direkte Variante und durch
> Kontraposition probiert.
Hallo,
Kontraposition ist doch nicht übel.
Du willst zeigen: [mm](v_1 + v_2, v_1 - v_2)[/mm] linear unabhängig ==> [mm](v_1, v_2)[/mm] inear unabhängig.
Kontraposition:
[mm](v_1, v_2)[/mm] linear abhängig ==> [mm](v_1 + v_2, v_1 - v_2)[/mm] linear abhängig
Zum Beweis: wenn [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear abhängig sind, dann gibt es ein k mit [mm] v_1=kv_2 [/mm] (oder andersrum).
Nun setze diese Erkenntnisse mal ein für [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
Zum Widerlegen hab ich Beispiele
> gesucht oder auch versucht es allgemein zu zeigen. Ich bin
> jedes mal an irgendwas gescheitert.
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> Wäre nett, wenn ihr einen Gedankenanstoß für mich hättet.
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> Lieben Gruß und vielen Dank
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Vielen Dank für die Hilfe. Inzwischen bin ich sogar noch auf einen anderen Lösungsweg gekommen:
Seien [mm](v_1 + v_2 , v_1 - v_2)[/mm] linear unabhängig. Dann seien [mm]w_1 := v_1 + v_2[/mm] und [mm]w_2 := v_1 - v_2[/mm] definiert. Mit der Gültigkeit der Hinrichtung sind dann auch [mm]w_1 + w_2 = v_1 + v_1[/mm] und [mm]w_1 - w_2 = v_2 + v_2[/mm] linear unabhängig. Und hieraus folgt dann auch direkt, dass [mm](v_1 , v_2)[/mm] selbst linear unabhängig sind.
Sollte stimmen so weit, oder?
Lieben Gruß
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> Sollte stimmen so weit, oder?
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Hallo,
ich sehe keinen Fehler, und ich finde den Beweis sehr nett.
Gruß v. Angela
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