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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - linear unabhängige Vektoren
linear unabhängige Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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linear unabhängige Vektoren: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:26 So 20.05.2007
Autor: Syladriel

Aufgabe
Es seien [mm] \alpha, \beta, \gamma \in \IR. [/mm] Zeigen Sie: Die Vektorfamilie [mm] \{(1, \alpha, \alpha^2)^T,(1, \beta, \beta^2)^T,(1, \gamma, \gamma^2)^T\} \subset \IR [/mm] ist linear unabhängig [mm] \gdw \alpha \not= \beta \wedge \alpha \not= \gamma \wedge \beta \not= \gamma [/mm]

Die Hinrichtung habe ich alleine hinbekommen, aber beim zweiten Teil habe ich mich irgendwo verhaspelt. Ich schreib mal alles auf, was ich bis jetzt habe:

[mm] "\Rightarrow" [/mm]
Annahme:
(1, [mm] \alpha, \alpha^2)^T,(1, \beta, \beta^2)^T,(1, \gamma, \gamma^2)^T [/mm] sind linear unabhängig und [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta \vee \alpha [/mm] = [mm] \gamma \vee \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Mindesten 2 Vektoren sind identisch und damit nicht mehr linear unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch!

[mm] "\Leftarrow" [/mm]
Annahme:
[mm] \alpha \not= \beta \wedge \alpha \not= \gamma \wedge \beta \not= \gamma \Rightarrow [/mm] (1, [mm] \alpha, \alpha^2)^T,(1, \beta, \beta^2)^T,(1, \gamma, \gamma^2)^T [/mm] sind linear unabhängig


Nun habe ich versucht die Gleichung
[mm] r*\begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \alpha^2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ \beta^2 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
  
ohne die triviale Lösung r=s=t=0 zu lösen und wollte dabei herausbekommen, dass dann entweder [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta \vee \alpha [/mm] = [mm] \gamma \vee \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] sein müsste.
Könnte mir jemand die ersten Schritte zeigen, ich bekam alles mögliche raus, aber nicht das, was ich wollte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
linear unabhängige Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:06 So 20.05.2007
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Versuche doch einfach, das GLsystem zu lösen. Ich habe mal nur die ersten beiden betrachtet, und das Ergebnis in die dritte eingesetzt:

[mm] \vmat{&r&+s&+t&=0 \\ &r\alpha&+s\beta&+t\gamma&=0} [/mm]

[mm] \vmat{&r&+s&+t&=0 \\ &r&+s\frac{\beta}{\alpha}&+t\frac{\gamma}{\alpha}&=0} [/mm]

Subtrahieren:

[mm] $s\left(1-\frac{\beta}{\alpha}\right)+t\left(1-\frac{\gamma}{\alpha}\right)=0$ [/mm]

[mm] $s\frac{\alpha-\beta}{\alpha}+t\frac{\alpha-\gamma}{\alpha}=0$ [/mm]


[mm] $s=-t\frac{\frac{\alpha-\gamma}{\alpha}}{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}}=-t\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}$ [/mm]

Einsetzen in I.:


$r+s+t=0$

[mm] $r=-s-t=-t\left(\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right)$ [/mm]

Das ganze mal in III eingesetzt:

[mm] $r\alpha^2+s\beta^2+t\gamma^2=0$ [/mm]

[mm]-t\left(\alpha^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right) -t\beta^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta} +t\gamma^2=0 [/mm]

t kann man ausklammern, der Rest müßte für lin. abhängige Vektoren auch 0 werden können:
[mm]t*\left[-\left(\alpha^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right) -\beta^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta} +\gamma^2\right]=0 [/mm]

Versuche also mal, den rechten Teil auf nen gemeinsamen Nenner zu bringen, und schau, wann das 0 wird, bzw ob überhaupt.

Bezug
                
Bezug
linear unabhängige Vektoren: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 So 20.05.2007
Autor: Syladriel

Sag mal, bei den Brüchen, nimmst du da gemischte Brüche oder hast du dir nur den Malpunkt erspart?> Hallo!

> [mm]t*\left[-\left(\alpha^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right) -\beta^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta} +\gamma^2\right]=0 [/mm]


Bezug
                        
Bezug
linear unabhängige Vektoren: Malpunkt "gespart"
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 So 20.05.2007
Autor: Loddar

Hallo Syladriel!


Es handelt sich hier nicht um gemischte Brüche, sondern um "gesparte Malpunkte".


Gruß
Loddar


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