linear unabhängige Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es seien [mm] \alpha, \beta, \gamma \in \IR. [/mm] Zeigen Sie: Die Vektorfamilie [mm] \{(1, \alpha, \alpha^2)^T,(1, \beta, \beta^2)^T,(1, \gamma, \gamma^2)^T\} \subset \IR [/mm] ist linear unabhängig [mm] \gdw \alpha \not= \beta \wedge \alpha \not= \gamma \wedge \beta \not= \gamma [/mm] |
Die Hinrichtung habe ich alleine hinbekommen, aber beim zweiten Teil habe ich mich irgendwo verhaspelt. Ich schreib mal alles auf, was ich bis jetzt habe:
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Annahme:
(1, [mm] \alpha, \alpha^2)^T,(1, \beta, \beta^2)^T,(1, \gamma, \gamma^2)^T [/mm] sind linear unabhängig und [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta \vee \alpha [/mm] = [mm] \gamma \vee \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Mindesten 2 Vektoren sind identisch und damit nicht mehr linear unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch!
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Annahme:
[mm] \alpha \not= \beta \wedge \alpha \not= \gamma \wedge \beta \not= \gamma \Rightarrow [/mm] (1, [mm] \alpha, \alpha^2)^T,(1, \beta, \beta^2)^T,(1, \gamma, \gamma^2)^T [/mm] sind linear unabhängig
Nun habe ich versucht die Gleichung
[mm] r*\begin{pmatrix} 1 \\ \alpha \\ \alpha^2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 1 \\ \beta \\ \beta^2 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1 \\ \gamma \\ \gamma^2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
ohne die triviale Lösung r=s=t=0 zu lösen und wollte dabei herausbekommen, dass dann entweder [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta \vee \alpha [/mm] = [mm] \gamma \vee \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] sein müsste.
Könnte mir jemand die ersten Schritte zeigen, ich bekam alles mögliche raus, aber nicht das, was ich wollte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Versuche doch einfach, das GLsystem zu lösen. Ich habe mal nur die ersten beiden betrachtet, und das Ergebnis in die dritte eingesetzt:
[mm]
\vmat{&r&+s&+t&=0 \\
&r\alpha&+s\beta&+t\gamma&=0}
[/mm]
[mm]
\vmat{&r&+s&+t&=0 \\
&r&+s\frac{\beta}{\alpha}&+t\frac{\gamma}{\alpha}&=0}
[/mm]
Subtrahieren:
[mm] $s\left(1-\frac{\beta}{\alpha}\right)+t\left(1-\frac{\gamma}{\alpha}\right)=0$
[/mm]
[mm] $s\frac{\alpha-\beta}{\alpha}+t\frac{\alpha-\gamma}{\alpha}=0$
[/mm]
[mm] $s=-t\frac{\frac{\alpha-\gamma}{\alpha}}{\frac{\alpha-\beta}{\alpha}}=-t\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}$
[/mm]
Einsetzen in I.:
$r+s+t=0$
[mm] $r=-s-t=-t\left(\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right)$
[/mm]
Das ganze mal in III eingesetzt:
[mm] $r\alpha^2+s\beta^2+t\gamma^2=0$
[/mm]
[mm]-t\left(\alpha^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right)
-t\beta^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}
+t\gamma^2=0
[/mm]
t kann man ausklammern, der Rest müßte für lin. abhängige Vektoren auch 0 werden können:
[mm]t*\left[-\left(\alpha^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right)
-\beta^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}
+\gamma^2\right]=0
[/mm]
Versuche also mal, den rechten Teil auf nen gemeinsamen Nenner zu bringen, und schau, wann das 0 wird, bzw ob überhaupt.
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Sag mal, bei den Brüchen, nimmst du da gemischte Brüche oder hast du dir nur den Malpunkt erspart?> Hallo!
> [mm]t*\left[-\left(\alpha^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}+1\right)
-\beta^2\frac{\alpha-\gamma}{\alpha-\beta}
+\gamma^2\right]=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 So 20.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Syladriel!
Es handelt sich hier nicht um gemischte Brüche, sondern um "gesparte Malpunkte".
Gruß
Loddar
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