matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare Algebralineare Abbildung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Lineare Algebra" - lineare Abbildung
lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Sa 03.05.2008
Autor: miniscout

Aufgabe
Ist die Abbildung linear? Begründen Sie. Dabei seien [mm] n,m\in\IN [/mm] , [mm] a\in\IR [/mm] und [mm] A\in\IR^{m\times n} [/mm] gegeben.
(c) [mm] $f:C^1(\IR)\to C^0(\IR)$ [/mm] mit $(f(u))(x)=u'(x)$

Kommentar zur Notation: [mm] C^1(\IR) [/mm] steht für den Vektorraum aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen [mm] u:\IR\to\IR [/mm] und [mm] C^0(\IR) [/mm] für den Vektorraum aller stetigen Funktionen [mm] u:\IR\to\IR [/mm] .

Hallo,

Ich stehe vor einem kleinen Problem, die Aufgabe oben gehört zu meiner Mathehausübung. Die Teilaufgaben (a) und (b) habe ich mittels Additivität und Homogenität bewiesen bzw. widerlegt. Bei der (c) hier weiß ich nicht so recht, wie ich anfangen soll. Zumal ich die Notation trotz Anmerkung nicht verstehe, kann mir jemand von euch weiterhelfen?

Danke und Gruß,
miniscout [sunny]

        
Bezug
lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Sa 03.05.2008
Autor: felixf

Hallo miniscout,

> Ist die Abbildung linear? Begründen Sie. Dabei seien
> [mm]n,m\in\IN[/mm] , [mm]a\in\IR[/mm] und [mm]A\in\IR^{m\times n}[/mm] gegeben.
>  (c) [mm]f:C^1(\IR)\to C^0(\IR)[/mm] mit [mm](f(u))(x)=u'(x)[/mm]
>  
> Kommentar zur Notation: [mm]C^1(\IR)[/mm] steht für den Vektorraum
> aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen
> [mm]u:\IR\to\IR[/mm] und [mm]C^0(\IR)[/mm] für den Vektorraum aller stetigen
> Funktionen [mm]u:\IR\to\IR[/mm] .
>
> Ich stehe vor einem kleinen Problem, die Aufgabe oben
> gehört zu meiner Mathehausübung. Die Teilaufgaben (a) und
> (b) habe ich mittels Additivität und Homogenität bewiesen
> bzw. widerlegt. Bei der (c) hier weiß ich nicht so recht,
> wie ich anfangen soll. Zumal ich die Notation trotz
> Anmerkung nicht verstehe, kann mir jemand von euch
> weiterhelfen?

Vorweg: Funktionenvektorraeume sind alles andere als anschaulich. Man muss sich einfach dran gewoehnen, dass Vektoren nicht Pfeile sind ;-) sondern irgendwelche Objekte, von denen man halt nur weiss das man sie zusammenaddieren kann und mit reellen Zahlen multiplizieren kann.

Also, erstmal zu den Vektorraeumen [mm] $C^0$ [/mm] und [mm] $C^1$. [/mm] Wenn du eine stetige (stetig diffbare) Funktion $f$ nimmst und sie punktweise mit einer Konstanten [mm] $\lambda$ [/mm] multiplizierst, also die Funktion $g$ mit $g(x) := [mm] \lambda [/mm] f(x)$ betrachtest (diese wird mit [mm] $\lambda [/mm] f$ bezeichnet), dann ist dies ebenfalls eine stetige (stetig diffbare) Funktion. Ebenso ist die punktweise Summe von zwei stetigen (stetig diffbaren) Funktionen wieder stetig (diffbar). Damit sind [mm] $C^0$ [/mm] und [mm] $C^1$ [/mm] mit den punktweisen Verknuepfungen Vektorraeume.

So. Jetzt hast du die Abbildung $f : [mm] C^1 \to C^0$. [/mm] Diese nimmt eine stetig diffbare Funktion $u [mm] \in C^1$ [/mm] und nimmt davon die Ableitung $u'$ -- diese ist nach Voraussetzung stetig. Es ist also $f(u) = u' [mm] \in C^0$, [/mm] oder anders geschrieben, fuer jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt $f(u)(x) = u'(x)$ (zwei Funktionen sind gleich wenn sie an allen Funktionswerten uebereinstimmen).

$f$ ist also der (sogenannte) Ableitungsoperator, der einer Funktion deren Ableitung zuordnet. Du sollst jetzt zeigen, dass er eine lineare Abbildung ist.

Machen wir das mal im Fall der Homogenitaet. Ist $u [mm] \in C^0$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR$, [/mm] so musst du [mm] $f(\lambda [/mm] u) = [mm] \lambda [/mm] f(u)$ zeigen. Jetzt sind $g := [mm] f(\lambda [/mm] u)$ und $h := [mm] \lambda [/mm] f(u)$ wieder Funktionen (stetige), und fuer ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt $g(x) = [mm] (f(\lambda [/mm] u)(x)) = [mm] (\lambda [/mm] u)'(x)$ und $h(x) = [mm] (\lambda [/mm] f(u))(x) = [mm] \lambda [/mm] (f(u))(x)  [mm] \lambda [/mm] u'(x)$. Du musst also gerade zeigen, dass [mm] $(\lambda \cdot [/mm] u)'(x) = [mm] \lambda \cdot [/mm] u'(x)$ ist! Aber das ist eine bekannte Ableitungsregel...

LG Felix


Bezug
                
Bezug
lineare Abbildung: dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Sa 03.05.2008
Autor: miniscout

Danke, danke, danke!

Ja, das ist eigentlich logisch. Mich hat wohl die Schreibweise etwas verwirrt. Hätte gedacht, dass es dann

$f(u(x))=u'(x)$

heißt und nicht

$(f(u))(x)=u'(x)$

Naja, auf alle Fälle [flowers] für die Antworten!

Gruß miniscout


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]