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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Do 14.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Betrachtet werde die Abbildung [mm] \phi:!^2->!^2 [/mm] mit x!
[mm] \phi(x)=Ax,A\in!^{2x2}
[/mm]
a, zeigen sie, dass [mm] \phi [/mm] linear ist.
b, Es sei [mm] A=\bruch{1}{2}\pmat{1 & \wurzel{3} \\ \wurzel{3} & -1}. [/mm] Bestimmen sie die Eingenvektoren [mm] v_1,v_2 [/mm] der Martix A sowie deren Bilder [mm] \phi(v_1),\phi(v_2)
[/mm]
c,Ein beliebiger Vektor w lässt sich als Linearkombination der Eigenvektoren darstellen, [mm] w=c_1v_1+c_2v_2. [/mm] Was folgt daraus für das Bild von [mm] \phi(w)?
[/mm]
d, Beschreiben sie die geometrische Abbildungseigenschaft der Abbildung [mm] \phi [/mm] |
Erstmal zu a,
soweit ich das richtig nachgelesen habe, muss doch für x,y [mm] \in [/mm] V und a [mm] \in [/mm] K folgende Bedingung gelten:
[mm] \phi(ax+y)=a\phi(x)+\phi(y)
[/mm]
Aber um ehrlich zu sein, verstehe ich das nicht wirklich. Wieso gibt mir diese Bedingung auskunft über die Linearität? Und wie genau wende ich sie auf dieses Beispiel an?
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
Gruß
Marc
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Hallo ,
> Betrachtet werde die Abbildung [mm]\phi:!^2->!^2[/mm] mit x!
> [mm]\phi(x)=Ax,A\in!^{2x2}[/mm]
>
> a, zeigen sie, dass [mm]\phi[/mm] linear ist.
> b, Es sei [mm]A=\bruch{1}{2}\pmat{1 & \wurzel{3} \\ \wurzel{3} & -1}.[/mm]
> Bestimmen sie die Eingenvektoren [mm]v_1,v_2[/mm] der Martix A sowie
> deren Bilder [mm]\phi(v_1),\phi(v_2)[/mm]
> c,Ein beliebiger Vektor w lässt sich als
> Linearkombination der Eigenvektoren darstellen,
> [mm]w=c_1v_1+c_2v_2.[/mm] Was folgt daraus für das Bild von
> [mm]\phi(w)?[/mm]
> d, Beschreiben sie die geometrische Abbildungseigenschaft
> der Abbildung [mm]\phi[/mm]
> Erstmal zu a,
>
> soweit ich das richtig nachgelesen habe, muss doch für
> x,y [mm]\in[/mm] V und a [mm]\in[/mm] K folgende Bedingung gelten:
>
> [mm]\phi(ax+y)=a\phi(x)+\phi(y)[/mm]
>
> Aber um ehrlich zu sein, verstehe ich das nicht wirklich.
> Wieso gibt mir diese Bedingung auskunft über die
> Linearität?
Weil Linearität nunmal genauso definiert ist!
> Und wie genau wende ich sie auf dieses
> Beispiel an?
Betrachte den Ausdruck [mm] \phi(ax+y) [/mm] mit deiner speziellen Funktion [mm] \phi [/mm] und versuche entsprechend umzuformen, sodass du auf das gewünschte kommst.
Dafür benötigst du nur einfache Gesetze der Matrizenrechnung.
Gruß Patrick
> Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
> Gruß
> Marc
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 14.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
Halte mich für blöd, aber ich weiss nicht wie.
Mit diesen allgemeinen Beweisen habe ich immer meine Probleme.
Ich probiere es mal:
[mm] \phi(\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2})
[/mm]
und das muss gleich:
[mm] \pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}\phi\vektor{x_1\\x_2}+\phi\vektor{y_1\\y_2}
[/mm]
sein ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Halte mich für blöd, aber ich weiss nicht wie.
> Mit diesen allgemeinen Beweisen habe ich immer meine
> Probleme.
> Ich probiere es mal:
>
> [mm]\phi(\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2})[/mm]
>
> und das muss gleich:
>
> [mm]\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}\phi\vektor{x_1\\x_2}+\phi\vektor{y_1\\y_2}[/mm]
Was macht denn diese Matrix da ? Soll das A sein ? Wenn ja dann bist Du gänzlich im falschen Fahrwasser !
Du willst zeigen: [mm] \phi(ax+y)=a\phi(x)+\phi(y)
[/mm]
Dabei sind x,y [mm] \in \IR^2 [/mm] und $a [mm] \in \IR$ [/mm] !!!
Nach Def. von [mm] \phi [/mm] ist Zu zeigen:
$A(ax+y)=a*Ax+Ay$
FRED
>
> sein ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 14.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
Also wenn A nicht [mm] \pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2} [/mm] ist dann hab ich so was von keine Ahnung.
Aber falls doch dann könnte es doch so sein
[mm] \pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*(a\vektor{x_1\\y_1}+\vektor{y_1\\y_2})
[/mm]
[mm] =\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*(\vektor{ax_1+y_1\\ax_2+y_2})
[/mm]
[mm] =\vektor{a_1_1(ax_1+y_1)+a_1_2(ax_2+y_2)\\a_2_1(ax_1+y_1)+a_2_2(ax_2+y_2)}
[/mm]
und das muss also gleich
[mm] a*(\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*\vektor{x_1\\x_2}+\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*\vektor{y_1\\y_2})
[/mm]
sein
[mm] =\vektor{a_1_1x_1a+a_1_2x_2a\\a_2_1x_1a+a_2_2x_2a}+\vektor{a_1_1y_1+a_1_2y_2\\y_2_1y_1+a_2_2y_2})
[/mm]
[mm] =\vektor{a_1_1(ax_1+y_1)+a_1_2(ax_2+y_2)\\a_2_1(ax_1+y_1)+a_2_2(ax_2+y_2)}
[/mm]
so, bitte lass das Richtig sein:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn A nicht [mm]\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}[/mm] ist
> dann hab ich so was von keine Ahnung.
> Aber falls doch dann könnte es doch so sein
>
> [mm]\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*(a\vektor{x_1\\y_1}+\vektor{y_1\\y_2})[/mm]
>
> [mm]=\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*(\vektor{ax_1+y_1\\ax_2+y_2})[/mm]
>
> [mm]=\vektor{a_1_1(ax_1+y_1)+a_1_2(ax_2+y_2)\\a_2_1(ax_1+y_1)+a_2_2(ax_2+y_2)}[/mm]
>
> und das muss also gleich
>
> [mm]a*(\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*\vektor{x_1\\x_2}+\pmat{a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2}*\vektor{y_1\\y_2})[/mm]
>
> sein
>
> [mm]=\vektor{a_1_1x_1a+a_1_2x_2a\\a_2_1x_1a+a_2_2x_2a}+\vektor{a_1_1y_1+a_1_2y_2\\y_2_1y_1+a_2_2y_2})[/mm]
>
>
> [mm]=\vektor{a_1_1(ax_1+y_1)+a_1_2(ax_2+y_2)\\a_2_1(ax_1+y_1)+a_2_2(ax_2+y_2)}[/mm]
>
> so, bitte lass das Richtig sein:)
Es ist richtig
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 14.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
b,
Um gleich weiter zu machen:
die Eigenwerte sind [mm] \lambda_1=1; \lambda_2=-1
[/mm]
Der Eingenvektor zu [mm] \lambda_1
[/mm]
[mm] 0x_1+\wurzel{3}x_2=0
[/mm]
[mm] \wurzel{3}x_1-2x_2=0
[/mm]
ich wähle doch für [mm] x_1=\alpha [/mm] und habe dann somit
[mm] v_1=\vektor{\alpha \\ \bruch{\wurzel{3}}{2}*\alpha}
[/mm]
[mm] v_1=\alpha\vektor{1 \\ \bruch{\wurzel{3}}{2}}
[/mm]
Eigenvektor zu [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] v_2=\alpha\vektor{-\bruch{\wurzel{3}}{2} \\1}
[/mm]
Was genau bestimme ich das Bild der Vektoren? Brauch ich dazu nicht noch weitere Infos?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> b,
>
> Um gleich weiter zu machen:
> die Eigenwerte sind [mm]\lambda_1=1; \lambda_2=-1[/mm]
>
> Der Eingenvektor zu [mm]\lambda_1[/mm]
>
> [mm]0x_1+\wurzel{3}x_2=0[/mm]
>
> [mm]\wurzel{3}x_1-2x_2=0[/mm]
Dieses Gleichungssystem stimmt nicht. Du hast den Faktor 1/2 vor der Matrix verschlampert !
>
> ich wähle doch für [mm]x_1=\alpha[/mm] und habe dann somit
> [mm]v_1=\vektor{\alpha \\ \bruch{\wurzel{3}}{2}*\alpha}[/mm]
>
> [mm]v_1=\alpha\vektor{1 \\ \bruch{\wurzel{3}}{2}}[/mm]
>
>
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>
> Eigenvektor zu [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]v_2=\alpha\vektor{-\bruch{\wurzel{3}}{2} \\1}[/mm]
>
>
>
> Was genau bestimme ich das Bild der Vektoren? Brauch ich
> dazu nicht noch weitere Infos?
Ganz, ganz furchtbar viele ! Mann, mann.
Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] \phi [/mm] und v ein zugeh. Eigenvektor, so gilt doch: [mm] $\phi(v) [/mm] = [mm] \lambda*v$
[/mm]
Wie fällt nun das Bild [mm] \phi(v) [/mm] von v aus ???
FRED
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