lineare Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{2}, f(\overrightarrow{x}) [/mm] = (x1+x3,x1-x3), für [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = (x1 x2 x3 [mm] )^{t} \in \IR^{3}.
[/mm]
a) Zeigen Sie dass f eine lineare Abbildung ist
b)Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes { [mm] \overrightarrow{x},f (\overrightarrow{x})= \overrightarrow{0} [/mm] } von [mm] \IR^{3}.
[/mm]
c) Bestimmen Sie die Matrix A, die f beschreibt. |
Ich habe keine Idee oder Ansätze zu diesem Beispiel,
bitte um Hilfe!
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> Es sei f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}, f(\overrightarrow{x})[/mm] =
> (x1+x3,x1-x3), für [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = (x1 x2 x3 [mm])^{t} \in \IR^{3}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> a) Zeigen Sie dass f eine lineare Abbildung ist
> b)Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes {
> [mm]\overrightarrow{x},f (\overrightarrow{x})= \overrightarrow{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } von [mm]\IR^{3}.[/mm]
> c) Bestimmen Sie die Matrix A, die f beschreibt.
> Ich habe keine Idee oder Ansätze zu diesem Beispiel,
> bitte um Hilfe!
Hallo,
dann solltest Du als erstes mal herausfinden, wie "lineare Abbildung" definiert ist, denn erst, wenn wir das wissen, können wir ja prüfen, ob f eine solche ist.
Für b) ist zu bestimmen, welche [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] das Gleichungssystem [mm] \vektor{x_1+x_3\\x_1-x_3}=\vektor{0\\0} [/mm] lösen.
c) machen wir ggf. später.
Gruß v. Angela
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Ich habe allerdings schon prinzipielle Probleme zu verstehen was die Aufgabenstellung bedeuten soll.Könntest du mir bitte etwas vereinfachter erklären was das überhaupt heißt?
> dann solltest Du als erstes mal herausfinden, wie "lineare
> Abbildung" definiert ist, denn erst, wenn wir das wissen,
> können wir ja prüfen, ob f eine solche ist.
Im Allgemeinen hab ich dazu einmal gefunden :
-Eine lineare Abbildung phi: V [mm] \to [/mm] V´ ist die Abbildung eines Vektorraumes V über K in einen solchen V´ über K (? verstehe ich nicht ganz )
-Eine Abbildung phi linear heißt ,wenn die Linearitätsbedingungen gelten, die da wären:
phi(x + y )= phi(x) + phi(y) und [mm] phi(\lambda [/mm] x )= [mm] \lambda [/mm] phi(x) x,y [mm] \in [/mm] V ( Untervektorraum), [mm] \lambda \in [/mm] K (? was ist K)
>
> Für b) ist zu bestimmen, welche [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm]
> das Gleichungssystem
> [mm]\vektor{x_1+x_3\\x_1-x_3}=\vektor{0\\0}[/mm] lösen.
>
> c) machen wir ggf. später.
>
> Gruß v. Angela
> >
>
LG
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> Ich habe allerdings schon prinzipielle Probleme zu
> verstehen was die Aufgabenstellung bedeuten soll.Könntest
> du mir bitte etwas vereinfachter erklären was das
> überhaupt heißt?
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> > dann solltest Du als erstes mal herausfinden, wie "lineare
> > Abbildung" definiert ist, denn erst, wenn wir das wissen,
> > können wir ja prüfen, ob f eine solche ist.
>
> Im Allgemeinen hab ich dazu einmal gefunden :
> -Eine lineare Abbildung phi: V [mm]\to[/mm] V´ ist die Abbildung
> eines Vektorraumes V über K in einen solchen V´ über K
> (? verstehe ich nicht ganz )
> -Eine Abbildung phi linear heißt ,wenn die
> Linearitätsbedingungen gelten, die da wären:
> phi(x + y )= phi(x) + phi(y) und [mm]phi(\lambda[/mm] x )= [mm]\lambda[/mm]
> phi(x) x,y [mm]\in[/mm] V ( Untervektorraum), [mm]\lambda \in[/mm] K (?
> was ist K)
Das ist es, darum geht es hier, die Elemente müssen einzeln addiert das gleiche ergeben wie das Gesamtargument und ein beliebiger Faktor muss auch als Skalar außerhalb mit der Funktion multipliziert werden können. Mache dir also ein Beispiel:
Es sei f: $ [mm] \IR^3 \to \IR^2, f(\overrightarrow{x}) [/mm] $ = (x1+x3,x1-x3), für $ [mm] \overrightarrow{x} [/mm] $ = (x1 x2 x3 $ [mm] )^{t} \in \IR^3. [/mm] $
x sei bei uns einmal [mm] \vec{a}=\vektor{ 1 \\ 2 \\ 3} [/mm]
Dann macht [mm] f(\vec{a}) [/mm] aus dem Vektor [mm] \vec{a} [/mm] folgendes:
[mm] \vec{a'}=\vektor{ 4 \\-2 } [/mm]
Die Frage ist nun: Ist dies eine lin. Abbildung. Dazu müsste gelten:
[mm] f(\vec{a}) [/mm] + [mm] f(\vec{b})=f(\vec{a}+\vec{b}) [/mm] sowie
[mm] \lambda [/mm] * [mm] f(\vec{a})=f(\lambda [/mm] * [mm] \vec{a})
[/mm]
Das ist jetzt ganz allgemein. Nimm dir zwei beliebige dreidimensionale Vektoren a und b und überprüfe notfalls diese zwei Voraussetzungen. Alternativ bzw. dann allg. kannst du mit allgemeiner Notation die Richtigkeit überprüfen, also z.B. zeigen, dass die Einzelkomponenten [mm] a_1, a_2 [/mm] und [mm] b_1,b_2 [/mm] einzeln addiert dasselbe bringen wie eben [mm] a_1 [/mm] und [mm] b_1 [/mm] direkt addiert und dann lin. abbgebildet. Beispiele vereinfachen das Leben enorm ;)
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> > Für b) ist zu bestimmen, welche [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm]
> > das Gleichungssystem
> > [mm]\vektor{x_1+x_3\\x_1-x_3}=\vektor{0\\0}[/mm] lösen.
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> > c) machen wir ggf. später.
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> > Gruß v. Angela
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> LG
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ok meinst du das so ungefähr in der form:
[mm] \overrightarrow{a}= \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{a}' [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -2 }
[/mm]
[mm] \overrightarrow{b}= \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{b}'= \vektor{4 \\ 2 }
[/mm]
[mm] f(\overrightarrow{a})+f(\overrightarrow{b})=f(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
[/mm]
[mm] \vektor{4 \\ -2 } [/mm] + [mm] \vektor{4 \\ 2 } [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 0 }
[/mm]
[mm] f\vektor{4+4 \\ -2+2 } [/mm] = [mm] f\vektor{8 \\ 0 }
[/mm]
Und dann für [mm] \lambda [/mm] irgendeine Zahl annehmen ( zB 2 )und versuchen zu zeigen dass [mm] \lambda*f(\vec{a}) [/mm] = [mm] f(\lambda *\vec{a})
[/mm]
Also [mm] 2*f\vektor{4 \\ -2 } [/mm] = f [mm] \vektor{2*4 \\ 2*(-2) } [/mm] und somit
[mm] \vektor{8\\ -4 } [/mm] = [mm] \vektor{8\\ -4 }
[/mm]
Stimmt das so??
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Hi,
> ok meinst du das so ungefähr in der form:
> [mm]\overrightarrow{a}= \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
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> [mm]\overrightarrow{a}'[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -2 }[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{b}= \vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
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> [mm]\overrightarrow{b}'= \vektor{4 \\ 2 }[/mm]
>
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> [mm]f(\overrightarrow{a})+f(\overrightarrow{b})=f(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})[/mm]
>
> [mm]\vektor{4 \\ -2 }[/mm] + [mm]\vektor{4 \\ 2 }[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]f\vektor{4+4 \\ -2+2 }[/mm] = [mm]f\vektor{8 \\ 0 }[/mm]
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> Und dann für [mm]\lambda[/mm] irgendeine Zahl annehmen ( zB 2 )und
> versuchen zu zeigen dass [mm]\lambda*f(\vec{a})[/mm] = [mm]f(\lambda *\vec{a})[/mm]
>
> Also [mm]2*f\vektor{4 \\ -2 }[/mm] = f [mm]\vektor{2*4 \\ 2*(-2) }[/mm] und
> somit
> [mm]\vektor{8\\ -4 }[/mm] = [mm]\vektor{8\\ -4 }[/mm]
>
> Stimmt das so??
Du musst die Eigenschaften für allgemeine Vektoren zeigen! Es hilft hier nicht viel, nur einzelne Vektoren zu überprüfen.
Ich zeige es dir für [mm] $f(\lambda\cdot a)=\lambda [/mm] f(a)$
Sei also [mm] a\in\IR [/mm] beliebig mit [mm] a=(a_1,a_2,a_3)^T
[/mm]
Dann ist der Vektor [mm] \lambda a=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)^T
[/mm]
Wegen der Definition der Abbildungseigenschaft ist
[mm] \qquad f(\lambda a)=(\lambda a_1+\lambda a_3,\lambda a_1-\lambda a_3)^T=\lambda (a_1+a_3,a_1- a_3)^T
[/mm]
Du siehst, es ist eigentlich gar nicht so schwer. 
>
Gruß
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[mm] \overrightarrow{a}= \vektor{a1 \\ a2 \\a3} \overrightarrow{b}= \vektor{b1 \\ b2 \\b3}
[/mm]
[mm] f\overrightarrow{a'} [/mm] ´= [mm] \vektor{a1+a3 \\ a1-a3 \\} [/mm]
[mm] f\overrightarrow{b'} [/mm] = [mm] \vektor{b1+b3 \\ b1-b3 \\} [/mm]
[mm] f\overrightarrow{a'}+f\overrightarrow{b'} [/mm] = [mm] f(\vec{a}+\vec{b})
[/mm]
[mm] f\vektor{a1+a3 \\ a1-a3 \\}+f\vektor{b1+b3 \\ b1-b3 \\} [/mm] = f [mm] \vektor{a1+a3+b1+b3 \\a1-a3+b1-b3} [/mm]
also so?
hmm
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> [mm]\overrightarrow{a}= \vektor{a1 \\ a2 \\a3} \overrightarrow{b}= \vektor{b1 \\ b2 \\b3}[/mm]
>
> [mm]f\overrightarrow{a'}[/mm] ´= [mm]\vektor{a1+a3 \\ a1-a3 \\}[/mm]
> [mm]f\overrightarrow{b'}[/mm] = [mm]\vektor{b1+b3 \\ b1-b3 \\}[/mm]
> [mm]f\overrightarrow{a'}+f\overrightarrow{b'}[/mm] = [mm]f(\vec{a}+\vec{b})[/mm]
>
> [mm]f\vektor{a1+a3 \\ a1-a3 \\}+f\vektor{b1+b3 \\ b1-b3 \\}[/mm] = f
> [mm]\vektor{a1+a3+b1+b3 \\a1-a3+b1-b3}\blue{=f(\vec{a}+\vec{b})}[/mm]
>
> also so?
> hmm
Das sieht schon besser aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
Gruß
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Ok super danke !
für den Punkt b:
Wenn ich hier jetzt eine Basis für den Unterraum { [mm] {\vec{x},f(\vec{x})=\vec{0}} [/mm] } von [mm] \IR^{3} [/mm] suche
und ich hier die Vektoren finden muss die [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
erzeugen, dann seh ich ja hier das x1 und x3 eig beide null sein müssen,damit x1+x3=0 ,und x1-x3=0 erfüllt sind.
Kann ich dann einfach sagen mein [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] ist oder darf man dass dann nicht weil das der Nullvektor wäre?
Müsste ich stattdessen x2 = irgendetwas ungleich Null nehmen?
Merci
Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ok super danke !
> für den Punkt b:
> Wenn ich hier jetzt eine Basis für den Unterraum {
> [mm]{\vec{x},f(\vec{x})=\vec{0}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} von [mm]\IR^{3}[/mm] suche
>
> und ich hier die Vektoren finden muss die [mm]\vektor{0 \\
0}[/mm]
>
> erzeugen, dann seh ich ja hier das x1 und x3 eig beide null
> sein müssen,damit x1+x3=0 ,und x1-x3=0 erfüllt sind.
> Kann ich dann einfach sagen mein [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 }[/mm]
> ist oder darf man dass dann nicht weil das der Nullvektor
> wäre?
> Müsste ich stattdessen x2 = irgendetwas ungleich Null
> nehmen?
Hallo,
Du bist auf der richtigen Spur.
Gesucht sind die Vektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}, [/mm] welche Lösungen des Gleichungssystems
[mm] x_1+x_3=0
[/mm]
[mm] x_1-x_3=0
[/mm]
sind.
Du erkennst richtig, daß gelten muß [mm] x_1=x_3=0.
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] unterliegt keinerlei Einschränkungen, kann also beliebig gewählt werden.
Damit weißt Du, daß alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\t\\0}=t*\vektor{0\\1\\0} [/mm] mit [mm] t\in \IR [/mm] das System lösen.
Der Vektor [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] ist eine Basis des Kerns (Nullraumes) von f, eine Basis der Menge [mm] \{\vec{x}\in \IR^3| f(\vec{x})=\vec{0}\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ok super. Jetzt weiß ich mal wie das bei den Punkten a und b zu behandeln ist. Danke für eure Hilfe!
Wie muss ich beim Punkt c ( Bestimmen einer Matrix A ,die f beschreibt ) vorgehen?
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Hallo rawberrie,
> Ok super. Jetzt weiß ich mal wie das bei den Punkten a und
> b zu behandeln ist. Danke für eure Hilfe!
> Wie muss ich beim Punkt c ( Bestimmen einer Matrix A ,die
> f beschreibt ) vorgehen?
Na, wie geht das denn üblicherweise?
Du schnappst dir Basen des Urbildraumes und des Bildraumes (etwa die Standardbasen) und bildest die Basisvektoren des Urbildraumes ab.
Die Bilder stellst du als LK der Basisvektoren des Zielraumes dar.
Die Koeffizienten, die in dieser LK auftreten bilden die Spalten der Abbildungsmatrix.
Die Prozedur auf den i-ten Basisvektor des Urbildraumes angewandt liefert die i-te Spalte der Matrix.
Du hast eine Abb. von [mm]\IR^{\red{3}}\to\IR^{\blue{2}}[/mm], also wird die Abbildungsmatrix vom Format [mm]\blue{2}\times\red{3}[/mm] sein ...
Gruß
schachuzipus
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> Na, wie geht das denn üblicherweise?
So ganz schlau werde ich momentan noch nicht aus deiner Anwort.
Ich habe also das Basenpaar B von V [mm] \vektor{0 \\ 1\\0}
[/mm]
und das Basenpaar B´von V´ [mm] \vektor{0 \\ 0}.
[/mm]
Dann weiß ich das ich eine m,n Matrix rauskrieg weil dimV=n und dimV´=m.
Und dann?
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Lg rawberrie
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Hallo nochmal,
> > Na, wie geht das denn üblicherweise?
>
> So ganz schlau werde ich momentan noch nicht aus deiner
> Anwort.
> Ich habe also das Basenpaar B von V [mm]\vektor{0 \\
1\\
0}[/mm]
Offensichtlich weißt du nicht, was eine Basis ist.
Das ist gar nicht gut! Das solltest du schnellstens nacharbeiten!
Die Standardbasis des Urbildraumes, also des [mm]\IR^3[/mm] ist doch
[mm]\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}=\left\{\vektor{1\\
0\\
0},\vektor{0\\
1\\
0},\vektor{0\\
0\\
1}\right\}[/mm]
Und die Standardbasis des Zielraumes, also des [mm]\IR^2[/mm] entsprechend [mm]\mathcal{C}=\{c_1,c_2\}=\left\{\vektor{1\\
0},\vektor{0\\
1}\right\}[/mm]
Dann hatte ich gesagt, dass du die Basisvektoren aus [mm]\mathcal{B}[/mm] abbilden sollst und das Bild als LK der Basisvektoren aus [mm]\mathcal{C}[/mm] darstellen sollst.
Für der 1. Basisvektor:
[mm]\vektor{1\\
0\\
0}\overset{f}{\mapsto} \vektor{1\\
1}=\blue{1}\cdot{}\vektor{1\\
0}+\green{1}\cdot{}\vektor{0\\
1}[/mm]
Also ist die 1. Spalte der Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen [mm]\mathcal B, \mathcal C[/mm]
[mm]\vektor{\blue{1}\\
\green{1}}[/mm]
Nun machst du aber das Ganze für die Spalten 2 und 3 ...
>
> und das Basenpaar B´von V´ [mm]\vektor{0 \\
0}.[/mm]
> Dann weiß
> ich das ich eine m,n Matrix rauskrieg weil dimV=n und
> dimV´=m.
Ja!
> Und dann?
Die Einträge der Matrix bestimmen wie nun zweimal beschrieben
LG
schachuzipus
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Ok danke !
Bin ich am richtigen Weg :
[mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
A (f) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1}
[/mm]
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Hallo,
> Ok danke !
> Bin ich am richtigen Weg :
>
> [mm]\red{f}\vektor{1 \\ 0\\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\red{f}\vektor{0 \\ 1\\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\red{f}\vektor{0 \\ 0\\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> A (f) = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1}[/mm]
Genau, das ist die Matrix der Abbildung bezüglich den Standardbasen.
>
>
>
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mi 02.03.2011 | | Autor: | rawberrie |
Ok super danke !
Lg
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Hallo,
ein paar "Kleinigkeiten":
Seien
> > [mm]\overrightarrow{a}= \vektor{a1 \\
a2 \\
a3} \overrightarrow{b}= \vektor{b1 \\
b2 \\
b3}[/mm]
>
> >
Dann ist
> > [mm]f(\green{\overrightarrow{a}})[/mm] = [mm]\vektor{a1+a3 \\
a1-a3 \\
}[/mm]
> > [mm]f(\green{\overrightarrow{b}})[/mm] = [mm]\vektor{b1+b3 \\
b1-b3 \\
}[/mm]
(Vektoren [mm]\vec{a'}, \vec{b'}[/mm], welche hier zuvor standen, haben hier nichts zu suchen! )
Zu zeigen:
> > [mm]f(\green{\overrightarrow{a}})+f(\green{\overrightarrow{b}})[/mm] = [mm]f(\vec{a}+\vec{b})[/mm]
Es ist
[mm]f(\vec{a})+f(\vec{b})[/mm]=
> >
> > f [mm]\vektor{a1+a3 \\
a1-a3}[/mm]+ f [mm]\vektor{b1+b3 \\
b1-b3}[/mm]
> > = f [mm] \vektor{a1+a3+b1+b3 \\
a1-a3+b1-b3}[/mm]
(Beachte die gestrichenen f. Die Vektoren [mm] $\vektor{a1+a3 \\ a1-a3}$ [/mm] usw. sind doch bereits die Funktionswerte.)
[mm] =\vektor{(a_1+b_1)+(a_3+b_3)\\(a_1+b_1)-(a_3+b_3)}
[/mm]
> [mm] \blue{=f(\vec{a}+\vec{b})}
[/mm]
Gruß v. Angela
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