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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 20.04.2011 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Es sei
X={p: [mm] \IR-->\IR [/mm] : [mm] p(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IR},
[/mm]
der Raum aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2 und
[mm] B={p_{0},p_{1},p_{2}}, p_{n}(x)= x^{n} [/mm] , n=0,1,2
eine Basis von X.
Ferner sei
[mm] \gamma:B-->X, [/mm] mit [mm] \gamma(p_{0})=p_{0}-p_{1}, \gamma(p_{1})=p_{1}-p_{2}, \gamma(p_{2})=p_{2}-p_{0}.
[/mm]
Laut Skript ex. eine eindeutige lineare Abbildung f: X-->X mit [mm] f_{|B}=\gamma
[/mm]
a) Sei p [mm] \in [/mm] X beliebig. Wie lautet f(p)?
b) Bestimmen Sie f(X), sowie eine Basis und die Dimension dieses Unterraums. |
Hallo :)
also... ich versteh das so:
B ist eine Basis von X.
Mit der Funktion [mm] \gamma [/mm] werden die Elemente von B auf X abgebildet und das folgendermaßen:
[mm] \gamma:B-->X, [/mm] mit
[mm] \gamma(p_{0})=p_{0}-p_{1}= x^{0}-x^{1}=1-x
[/mm]
[mm] \gamma(p_{1})=p_{1}-p_{2}=x-x^{2}
[/mm]
[mm] \gamma(p_{2})=p_{2}-p_{0}=x^{2}-1
[/mm]
Das ganze habe ich jetzt gemacht, weil f(p) gesucht ist und [mm] f_{|B}=\gamma [/mm] nichts anderes heißt, also [mm] f(p)=\gamma(p). [/mm] Ich bin also auf der suche nach [mm] \gamma(p).
[/mm]
wie mache ich jetzt weiter? Hilft es, wenn ich erkenne, dass:
(-1) [mm] \gamma(p_{1})+(-1) \gamma(p_{2})= \gamma(p_{0})
[/mm]
Danke schonmal für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mi 20.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei
> [mm]X=\{p: \IR-->\IR : p(x)=ax^{2}+bx+c \text{ mit } a,b,c \in \IR\},[/mm]
>
> der Raum aller Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2 und
> [mm]B={p_{0},p_{1},p_{2}}, p_{n}(x)= x^{n}[/mm] , n=0,1,2
> eine Basis von X.
> Ferner sei
> [mm]\gamma:B-->X,[/mm] mit [mm]\gamma(p_{0})=p_{0}-p_{1}, \gamma(p_{1})=p_{1}-p_{2}, \gamma(p_{2})=p_{2}-p_{0}.[/mm]
>
> Laut Skript ex. eine eindeutige lineare Abbildung f: X-->X
> mit [mm]f_{|B}=\gamma[/mm]
>
> a) Sei p [mm]\in[/mm] X beliebig. Wie lautet f(p)?
> b) Bestimmen Sie f(X), sowie eine Basis und die Dimension
> dieses Unterraums.
> Hallo :)
> also... ich versteh das so:
> B ist eine Basis von X.
> Mit der Funktion [mm]\gamma[/mm] werden die Elemente von B auf X
> abgebildet und das folgendermaßen:
>
> [mm]\gamma:B-->X,[/mm] mit
> [mm]\gamma(p_{0})=p_{0}-p_{1}= x^{0}-x^{1}=1-x[/mm]
>
> [mm]\gamma(p_{1})=p_{1}-p_{2}=x-x^{2}[/mm]
> [mm]\gamma(p_{2})=p_{2}-p_{0}=x^{2}-1[/mm]
>
> Das ganze habe ich jetzt gemacht, weil f(p) gesucht ist und
> [mm]f_{|B}=\gamma[/mm] nichts anderes heißt, also [mm]f(p)=\gamma(p).[/mm]
> Ich bin also auf der suche nach [mm]\gamma(p).[/mm]
Nicht ganz: es heisst $f(p) = [mm] \gamma(p)$ [/mm] für [mm] $p\in [/mm] B$. Für [mm] $p\not\in [/mm] B$ gibt es zunächst keine Aussage.
> wie mache ich jetzt weiter?
f ist eine lineare Abbildung. Schreibe ein beliebiges [mm] $p\in [/mm] X$ als Linearkombination der [mm] $p_i \in [/mm] B$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mi 20.04.2011 | | Autor: | perl |
Ich komm einfach nicht drauf... Ich schreib einfach mal wie ichs verstehe:
In meinem Skript steht:
[mm] B={e_{1},e_{2},...,e_{n}} [/mm] sei eine Basis von [mm] \IK^{n} [/mm]
[mm] f(x)=\summe_{i=1}^{n}a_{i}\gamma(x_{i})
[/mm]
[mm] \gamma (e_{n})=(a_{1,k},...,a_{n,k})\subsetK^{m} [/mm] mit k=1,2,...,m
Nun ist f die Fortsetzung von [mm] \gamma [/mm] auf [mm] K^{n}
[/mm]
mit [mm] K^{n}->K^{m}
[/mm]
x -> x´=f(x)
In der Aufgabe:
[mm] B={p_{0},p_{1},p_{2}}
[/mm]
mit [mm] p_{n}(x)=x^{n}
[/mm]
[mm] -->p_{0}=1, p_{1}=x, p_{2}=x^{2}
[/mm]
Das sind doch jetzt die [mm] p_{i} [/mm] mit i=0,1,2
Die Abbildung [mm] \gamma [/mm] bildet von B nach X ab. Wenn ich die [mm] p_{i} [/mm] einsetzte, werden diese nach X abgebildet. Ich stelle nun [mm] \gamma(p_{i}) [/mm] auf:
[mm] \gamma(p_{i}) [/mm] = (p(0)-p(1), p(1)-p(0),p(2)-p(0))=(1-x, [mm] x-x^{2},x^{2}-1)
[/mm]
und für f(x) heißt des dann??
Tut mir leid... ich glaub ich bin total auf dem Holzweg...
um bezug zur Hilfestellung aufzunehmen:
>f ist eine lineare Abbildung. Schreibe ein beliebiges [mm]p\in X[/mm]
> als Linearkombination der [mm]p_i \in B[/mm].
das versteh ich so, dass ich das hier mache:
[mm] p(x)=a(p_{2})+b(p_{1})+c(p_{0})
[/mm]
will mich nicht wer von meinem leiden erlößen? :(
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Hallo,
Du hast den Vektorraum X, welcher alle Polynome vom Höchstgrad 2 enthalt.
Dieser Vektorraum hat die Dimension 3, eine Basis dieses Raumes ist offenbar [mm] B:=(p_0:=1, p_1:=x, p_2:=x^2).
[/mm]
(Du kannst also jedes Polynom p aus X eindeutig als Linearkombination der drei Basisvektoren schreiben.)
Nun hast Du eine Abbildung [mm] \gamma, [/mm] welche jedem der drei Basisvektoren ein Polynom aus X zuordnet.
Wie dies geschieht, ist in der Aufgabe angegeben:
[mm] \gamma(1):=1-x
[/mm]
[mm] \gamma(x):=x-x^2
[/mm]
[mm] \gamma(x^2):=x^2-1.
[/mm]
Soweit zu den Voraussetzungen.
Nun wird gesagt: Du kannst eine lineare Abbildung finden, welche jedem Polynom von X ein Polynom von X zuordnet, und deren Abbildungsvorschrift so beschaffen ist, daß [mm] f(1)=\gamma(1)=1-x, f(x)=\gamma(x)=x-x^2 [/mm] und [mm] f(x^2)=\gamma(x^2)=x^2-1 [/mm] ist.
Sei nun p ein beliebiges Polynom aus X.
Du weißt: es gibt Koeffizienten [mm] a_i [/mm] so, daß
[mm] p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2.
[/mm]
Nun bedenke, daß f linear sein soll.
Was weißt Du also über [mm] f(a_0+a_1x+a_2x^2)?
[/mm]
[mm] f(a_0+a_1x+a_2x^2)=...+...+...
[/mm]
Nun versuche, die Angelegenheit so zu organisieren, daß Du für [mm] f(p_i) [/mm] gerade [mm] \gamma(p_i) [/mm] bekommst.
>
> Ich komm einfach nicht drauf... Ich schreib einfach mal wie
> ichs verstehe:
>
> In meinem Skript steht:
> [mm]B={e_{1},e_{2},...,e_{n}}[/mm] sei eine Basis von [mm]\IK^{n}[/mm]
> [mm]f(x)=\summe_{i=1}^{n}a_{i}\gamma(x_{i})[/mm]
> [mm]\gamma (e_{n})=(a_{1,k},...,a_{n,k})\subsetK^{m}[/mm] mit
> k=1,2,...,m
> Nun ist f die Fortsetzung von [mm]\gamma[/mm] auf [mm]K^{n}[/mm]
> mit [mm]K^{n}->K^{m}[/mm]
> x -> x´=f(x)
>
> In der Aufgabe:
> [mm]B={p_{0},p_{1},p_{2}}[/mm]
> mit [mm]p_{n}(x)=x^{n}[/mm]
> [mm]-->p_{0}=1, p_{1}=x, p_{2}=x^{2}[/mm]
>
> Das sind doch jetzt die [mm]p_{i}[/mm] mit i=0,1,2
>
> Die Abbildung [mm]\gamma[/mm] bildet von B nach X ab. Wenn ich die
> [mm]p_{i}[/mm] einsetzte, werden diese nach X abgebildet. Ich stelle
> nun [mm]\gamma(p_{i})[/mm] auf:
> [mm]\gamma(p_{i})[/mm] = (p(0)-p(1), p(1)-p(0),p(2)-p(0))=(1-x,
> [mm]x-x^{2},x^{2}-1)[/mm]
Hier hast Du etwas falsch verstanden.
[mm] \gamma(p_i) [/mm] ist ein Polynom - und nicht etwa ein Tripel aus Polynomen!
>
> und für f(x) heißt des dann??
>
>
> Tut mir leid... ich glaub ich bin total auf dem Holzweg...
> um bezug zur Hilfestellung aufzunehmen:
> >f ist eine lineare Abbildung. Schreibe ein beliebiges
> [mm]p\in X[/mm]
> > als Linearkombination der [mm]p_i \in B[/mm].
>
> das versteh ich so, dass ich das hier mache:
>
> [mm]p(x)=a(p_{2})+b(p_{1})+c(p_{0})[/mm]
Ja, genau.
Und nun überlegst Du Dir, was, sofern f linear ist, f(p) sein muß.
(S.o.)
> will mich nicht wer von meinem leiden erlößen? :(
Nein. Wir wissen nämlich nicht, wie das geht. Aber erlösen tun wir Dich gerne, wenn wir können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:07 Do 21.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Du hast den Vektorraum X, welcher alle Polynome vom
> Höchstgrad 2 enthalt.
>
> Dieser Vektorraum hat die Dimension 3, eine Basis dieses
> Raumes ist offenbar [mm]B:=(p_0:=1, p_1:=x, p_2:=x^2).[/mm]
> (Du
> kannst also jedes Polynom p aus X eindeutig als
> Linearkombination der drei Basisvektoren schreiben.)
>
> Nun hast Du eine Abbildung [mm]\gamma,[/mm] welche jedem der drei
> Basisvektoren ein Polynom aus X zuordnet.
> Wie dies geschieht, ist in der Aufgabe angegeben:
>
> [mm]\gamma(1):=1-x[/mm]
> [mm]\gamma(x):=x-x^2[/mm]
> [mm]\gamma(x^2):=x^2-1.[/mm]
man beachte, dass hier mit $1, x, [mm] x^2$ [/mm] (und daher auch mit [mm] $1-x\,,$ $x-x^2$ [/mm] und [mm] $x^2-1$) [/mm] nur eine Kurznotation für die Abbildungen [mm] $p_0,p_1,p_2$ [/mm] (und daher auch [mm] $p_0-p_1\,,$ $p_1-p_2$ [/mm] und [mm] $p_2-p_0$) [/mm] verwendet wird.
Das "Argument [mm] $x\,$" [/mm] steht hier also in Wahrheit für die Abbildung [mm] $\IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^1=x\;\;(x \in \IR)\,,$ [/mm] welche man in der Aufgabe mit [mm] $p_1$ [/mm] bezeichnet hatte.
(Ebenso ist das "Argument [mm] $1\,$" [/mm] nichts anderes als [mm] $p_0\,,$ [/mm] also die Funktion [mm] $\IR \to \IR\,,$ [/mm] welche konstant [mm] $=1\,$ [/mm] ist.)
Der "Wert" [mm] $\gamma(\pi)$ [/mm] würde demzufolge nichts anderes sein als [mm] $\gamma(\pi p_0)$ ($\pi p_0$ [/mm] ist hier die Funktion [mm] $\IR \to \IR\,,$ [/mm] die konstant [mm] $\pi$ [/mm] ist, da [mm] $p_0: \IR \to \IR$ [/mm] ja konstant [mm] $1\,$ [/mm] ist) wenn man für eine Abbildung $f: [mm] \IR \to \IR\,$ [/mm] und [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] die Abbildung [mm] $\alpha \odot f:=\alpha [/mm] f$ durch [mm] $\alpha f(x):=\alpha [/mm] * f(x)$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] definiert.
Gruß,
Marcel
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