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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 So 12.02.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | a)Entscheien Sie (mit Begründung), welche der folgenden
Abbildungen linear sind;
(i) f : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] f(x,y,z) = (3x + y + z, z, x - [mm] 2y)^{T}
[/mm]
(ii) g : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] g(x,y,z) = (3x + y + z, z, x - 2y + [mm] 1)^{T}
[/mm]
(iii) h : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3}, [/mm] h(x,y,z) = (3x + y + z, z, [mm] x^{2} [/mm] - [mm] 2y)^{T}
[/mm]
b) Bestimmen Sie für die als linear identifizierten
Abbildungen die Bilder der Vektoren [mm] \vec{e_{1}} [/mm] = (1, 0, [mm] 0)^{T}, [/mm]
[mm] \vec{e_{2}} [/mm] = (0, 1, [mm] 0)^{T} [/mm] und [mm] \vec{e_{3}} [/mm] = (0, 0, [mm] 1)^{T} [/mm] (bzw. der zugeordneten Punkte in [mm] \IR^{3})
[/mm]
c) Geben Sie mit Hilfe von b) für die linearen Abbildungen
a [mm] \in [/mm] {f, g, h} jeweils eine Matrix A an, so dass
[mm] a(\vec{x}) [/mm] = [mm] A\vec{x}. [/mm] Verifizieren Sie diese identität für [mm] \vec{x} [/mm] = 1, 2, [mm] -3)^{T} [/mm] |
Hallo,
also ich bin mir nich wirklich sicher, für a) würde ich
versuchen einfach die zwei Regeln anwenden die gelten, wenn
eine Abbildung linear ist:
(i) L(x + y) = L(x) + L(y),
(ii) [mm] L(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] L(x), [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
nur bin ich mir nicht sicher wie ich die jetzt anwende :).
Nehme ich einfach die einzelne Komponente der Funktion und
Zerlege es einfach? Also für f(x, y, z ) würde ich einfach
schreiben für die x-Komponente
f(3x + y + z) = f(3x) + f(y) + f(z)
oder wie? Das macht für mich keinen korrekten Eindruck und
sieht irgendwie nicht aussagekräftig aus.
Bei b) würde ich die Koordinaten der Einheitsvektoren
einfach einsetzen und so die zugeordneten Bilder bestimmen
und bei c) habe ich nicht wirklich eine Idee.
Gruß
al3pou
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> a)Entscheien Sie (mit Begründung), welche der folgenden
> Abbildungen linear sind;
>
> (i) f : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm] f(x,y,z) = (3x + y + z, z, x -
> [mm]2y)^{T}[/mm]
> (ii) g : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm] g(x,y,z) = (3x + y + z, z, x
> - 2y + [mm]1)^{T}[/mm]
> (iii) h : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm] h(x,y,z) = (3x + y + z, z,
> [mm]x^{2}[/mm] - [mm]2y)^{T}[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie für die als linear identifizierten
> Abbildungen die Bilder der Vektoren [mm]\vec{e_{1}}[/mm] = (1, 0,
> [mm]0)^{T},[/mm]
> [mm]\vec{e_{2}}[/mm] = (0, 1, [mm]0)^{T}[/mm] und [mm]\vec{e_{3}}[/mm] = (0, 0, [mm]1)^{T}[/mm]
> (bzw. der zugeordneten Punkte in [mm]\IR^{3})[/mm]
>
> c) Geben Sie mit Hilfe von b) für die linearen Abbildungen
> a [mm]\in[/mm] {f, g, h} jeweils eine Matrix A an, so dass
> [mm]a(\vec{x})[/mm] = [mm]A\vec{x}.[/mm] Verifizieren Sie diese identität
> für [mm]\vec{x}[/mm] = 1, 2, [mm]-3)^{T}[/mm]
> Hallo,
>
> also ich bin mir nich wirklich sicher, für a) würde ich
> versuchen einfach die zwei Regeln anwenden die gelten, wenn
> eine Abbildung linear ist:
>
> (i) L(x + y) = L(x) + L(y),
> (ii) [mm]L(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda[/mm] L(x), [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> nur bin ich mir nicht sicher wie ich die jetzt anwende :).
> Nehme ich einfach die einzelne Komponente der Funktion und
> Zerlege es einfach? Also für f(x, y, z ) würde ich
> einfach
> schreiben für die x-Komponente
>
> f(3x + y + z) = f(3x) + f(y) + f(z)
>
> oder wie?
Das ist ja totaler Quatsch, wenn ich das mal so sagen darf! Die linke Seite ist doch bereits der abgebildete Vektor, also das, was rauskommen soll! Was heißt denn überhaupt
f : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm] f(x,y,z) = (3x + y + z, z, x - [mm]2y)^{T}[/mm] ?
Deine Funktion geht vom $ [mm] R^3$ [/mm] in den [mm] $R^3$. [/mm] Ferner wird ein Vektor mit den Komponenten x,y,z abgebildet auf einen Vektor mit eben jenen Komponenten, die auf der rechten Seite stehen, also 3x+y+z=neue x-Komponente, z=neue y-Komponente, x-2y=neue z-Komponente. Hattest du das wirklich verstanden? So jetzt zur Linearität.
Damit die Abbildung linear ist, müssen die beiden von dir richtig zitierten Gesetze gelten.
Also z.B. zur Additivität: Wenn du einen Vektor der Form [mm] $\vektor{x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3}$ [/mm] in deine Funktion hineingibst, muss das Ergebnis auch als $f(x)+f(y)$ darstellbar sein. Ganz formal setzt du also einmal einen Vektor in die Funktion ein, der bereits die Summe zweier Vektoren ist und beim zweiten Mal berechnest du das Ergebnis direkt mit den Einzelvektoren x und y. Ist das verständlich? ^^
Genau das gleiche machst du mit der Linearität. Du setzt zunächst den Vektor [mm] $\lambda{}x$ [/mm] in f ein und schaust, was als Lösung herauskommt. Dann formst du dies ggf. so um, dass man [mm] $\lambda$ [/mm] rausziehen kann. Wenn dies gelingt, hast du im Grunde gezeigt, dass auch [mm] $\lambda{}f(x)$ [/mm] gilt ;) Aber auch hier kannst du wie oben den ganz ausführlichen Weg gehen und beide Wege getrennt berechnen (zur Übung).
> Das macht für mich keinen korrekten Eindruck und
> sieht irgendwie nicht aussagekräftig aus.
> Bei b) würde ich die Koordinaten der Einheitsvektoren
> einfach einsetzen und so die zugeordneten Bilder bestimmen
Ajo sicher, du hast Vektoren als Argumente gegeben und kannst mit der Funktionsvorschrift der lin. Abb. jetzt ihr Bild in [mm] $R^3$ [/mm] bestimmen.
> und bei c) habe ich nicht wirklich eine Idee.
Dann musst du eventuell mehr über Abbildungsmatrizen nachlesen. Im Grunde ist jede lineare Abbildung durch eine Matrix darstellbar, also wenn $f$ eine lineare Abbbildung ist, dann gilt mit der zugehörigen Abbildungsmatrix $A$:
$f(x)=Ax$ d.h. du kannst statt der Abbildungsvortschrift, die du jedes Mal explizit ausrechnen musst, eine Matrix mit dem Vektor multiplizieren und du erhälst das Bild. Diese Matrix enthält die Bilder der Basisvektoren. D.h. was rechnest du? Du steckst die Basis-Standardeinheitsvektoren in deine lin. Abbildung und berechnest ihre Bilder (das hast du in der b gemacht). Dadurch erhälst du drei neue Vektoren, also
[mm] $e_1^*=f(e_1), e_2^*=f(e_2)$ [/mm] und [mm] $e_3^*=f(e_3)$. [/mm] Diese drei Bilder sind die Spaltenvektoren deiner Abbildungsmatrix A, da sie ja gerade angeben, wie jeder Einheitsvektor durch die lin. Abbildung abgebildet wird. Also einfach die drei neuen Einheitsvektoren in die Matrix schreiben und die Probe machen.
EDIT: Hier der Text aus Wiki:
"Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. Eine Abbildungsmatrix, die eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum beschreibt, muss daher stets 6 Zeilen (für die sechs Bildkoordinaten der Basisvektoren) und 4 Spalten (für jeden Basisvektor des Urbildraums eine) haben."
>
> Gruß
> al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 12.02.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, also ich das bei a) jetzt so gemacht, da die Funktionen ja sowohl über Additivität als auch über Homogenität verfügen müssen, dass ich zunächst alle auf Additivität geprüft habe. Bei f geht es, bei g und h habe ich zwei Faktoren mit denen ich nichs anfangen kann bzw. einmal die +1 und einmal aus der binomischen Formel ergeben sich Summanden die dazu führen, dass ich es nicht mehr so darstellen kann wie ich es (nach Additivität) soll. Bei den beiden müsste ich doch jetzt nicht weiter rechnen, da sie schon nicht über Additivität verfügen oder?
Gruß
al3pou
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> Okay, also ich das bei a) jetzt so gemacht, da die
> Funktionen ja sowohl über Additivität als auch über
> Homogenität verfügen müssen, dass ich zunächst alle auf
> Additivität geprüft habe. Bei f geht es, bei g und h habe
> ich zwei Faktoren mit denen ich nichs anfangen kann.
Was soll das heißen? Hast du einen Widerspruch zu den Regeln gefunden oder erweist du dich als nicht fähig, etwas zu rechnen? ;)
>Bei
> den beiden müsste ich doch jetzt nicht weiter rechnen, da
> sie schon nicht über Additivität verfügen oder?
Ah, das ist eine völlig andere Aussage. Nun, wenn du zeigen kannst, dass die Additivtät verletzt wird (bei g ganz einfach durch das +1, da +1 bei einem Argument dazukommt, wenn ich aber f(x)+f(y) berechne, habe ich +2), dann bist du fertig klar. Es heißt ja, es müssen a) und b) gelten, damit eine Abb. linear ist, oder? ;)
Ebenso allg. Tipp: Eine lin. Abbildung muss immer das Element 0 enthalten, was offenbar sofort für eine Komponente, die +1 hat, verletzt wird. Ebenso schnell erhälst du ein Gefühl dafür, was eine lin. Abbildung alles sein kann und was nicht, also einzelne Summanden +c und Potenzen von Komponenten scheiden gleich aus.
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> Gruß
> al3pou
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