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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:41 Mo 11.06.2012 | | Autor: | HugATree |
| Aufgabe | Seien $K$ ein Körper und [mm] $c\in [/mm] K$.
Seien [mm]V[/mm] ein K-Vektorraum, [mm] $\alpha \in [/mm] V$ und $T:V [mm] \to [/mm] V$ eine lineare Abbildung.
Zeigen Sie, dass für alle $g [mm] \in [/mm] K[x]$, falls [mm] $$T(\alpha)=ca,$$ $$g(T)(\alpha)=g(c)\alpha$$ [/mm] gilt. |
Guten Abend,
ich sitze schon eine ganze Weile an dieser Aufgabe.
Sie sieht irgendwie so leicht aus, aber irgendwie weiß ich nicht, wie ich anfangen soll :-(
Würde mich über ein paar Tipps freuen.
lG
HugATree
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:46 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] T(\alpha)=ca [/mm] $
folgt
$ [mm] T^2(\alpha)=c^2a [/mm] $
und allgemein (induktiv):
$ [mm] T^n(\alpha)=c^na [/mm] $ für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist $g [mm] \in [/mm] K[x]$, so ist [mm] g(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m.
[/mm]
Wie ist g(T) definiert ? Was ist dann [mm] g(T)(\alpha) [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mo 11.06.2012 | | Autor: | HugATree |
> Aus
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> [mm]T(\alpha)=ca[/mm]
>
> folgt
>
>
>
> [mm]T^2(\alpha)=c^2a[/mm]
>
> und allgemein (induktiv):
>
>
>
> [mm]T^n(\alpha)=c^na[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Ist [mm]g \in K[x][/mm], so ist [mm]g(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m.[/mm]
>
> Wie ist g(T) definiert ? Was ist dann [mm]g(T)(\alpha)[/mm] ?
Nach deinem Tipp zu urteilen würde ich sagen:
[mm] $g(T)=a_0T^0+a_1T+...+a_mtT^m$
[/mm]
und somit:
[mm] $g(T)(\alpha)=a_0T^0(\alpha)+a_1T(\alpha)+...+a_mtT^m(\alpha)=a_0c^0\alpha+a_1c\alpha+...+a_mc^m\alpha=(a_0+a_1c+...+a_mc^m)*\alpha=g(c)*\alpha$
[/mm]
War es das schon?
Vielen Dank für Die Antwort
lG
HugATree
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Aus
> >
> > [mm]T(\alpha)=ca[/mm]
> >
> > folgt
> >
> >
> >
> > [mm]T^2(\alpha)=c^2a[/mm]
> >
> > und allgemein (induktiv):
> >
> >
> >
> > [mm]T^n(\alpha)=c^na[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> > Ist [mm]g \in K[x][/mm], so ist [mm]g(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m.[/mm]
> >
> > Wie ist g(T) definiert ? Was ist dann [mm]g(T)(\alpha)[/mm] ?
> Nach deinem Tipp zu urteilen würde ich sagen:
> [mm]g(T)=a_0T^0+a_1T+...+a_mtT^m[/mm]
> und somit:
>
> [mm]g(T)(\alpha)=a_0T^0(\alpha)+a_1T(\alpha)+...+a_mtT^m(\alpha)=a_0c^0\alpha+a_1c\alpha+...+a_mc^m\alpha=(a_0+a_1c+...+a_mc^m)*\alpha=g(c)*\alpha[/mm]
>
> War es das schon?
Ja
FRED
>
> Vielen Dank für Die Antwort
> lG
> HugATree
> >
> > FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 11.06.2012 | | Autor: | HugATree |
> > > Aus
> > >
> > > [mm]T(\alpha)=ca[/mm]
> > >
> > > folgt
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]T^2(\alpha)=c^2a[/mm]
> > >
> > > und allgemein (induktiv):
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]T^n(\alpha)=c^na[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
> > >
> > > Ist [mm]g \in K[x][/mm], so ist [mm]g(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m.[/mm]
> > >
> > > Wie ist g(T) definiert ? Was ist dann [mm]g(T)(\alpha)[/mm] ?
> > Nach deinem Tipp zu urteilen würde ich sagen:
> > [mm]g(T)=a_0T^0+a_1T+...+a_mtT^m[/mm]
> > und somit:
> >
> >
> [mm]g(T)(\alpha)=a_0T^0(\alpha)+a_1T(\alpha)+...+a_mtT^m(\alpha)=a_0c^0\alpha+a_1c\alpha+...+a_mc^m\alpha=(a_0+a_1c+...+a_mc^m)*\alpha=g(c)*\alpha[/mm]
> >
> > War es das schon?
>
> Ja
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank für Die Antwort
> > lG
> > HugATree
> > >
> > > FRED
Vielen Vielen Dank :)
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 11.06.2012 | | Autor: | HugATree |
> Aus
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> [mm]T(\alpha)=ca[/mm]
>
> folgt
>
>
>
> [mm]T^2(\alpha)=c^2a[/mm]
Warum gilt das hier eigentlich?
Warum gilt nicht [mm] $T^2(\alpha)=c^2\alpha^2$
[/mm]
>
> und allgemein (induktiv):
>
>
>
> [mm]T^n(\alpha)=c^na[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Ist [mm]g \in K[x][/mm], so ist [mm]g(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m.[/mm]
>
> Wie ist g(T) definiert ? Was ist dann [mm]g(T)(\alpha)[/mm] ?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] T^2(a)=T(T(a))=T(ca)=cT(a)=c*ca=c^2a
[/mm]
FRED
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