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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 So 27.06.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo alle zusammen,
ich hab' da ne Aufgabe und komme da nicht weiter. Und zwar folgende:
Prfüfen Sie, ob es eine lineare Abbildung [mm]\phi:\IR^2\otimes\IR^2\rightarrow\IR^2[/mm] gibt mit
(a) [mm]\phi(v\otimesw)=v+w \mbox{für alle } v,w\in\IR^2[/mm],
bzw. [mm]\phi:\IR^2\otimes\IR^2\rightarrow \IR[/mm] mit
(b) [mm]\phi((x_1,x_2)\otimes(y_1,y_2))=x_1y_1+x_1y_2-2x_2y_2[/mm] für alle [mm]x_i,y_i\in\IR,i=1,2[/mm].
Also muss ich jetzt einfach nur zeigen, ob die linear sind,d.h. die EIgenschften dafür überprüfen. Oder mit dem Satz argumentieren,dass [mm]\phi[/mm] ex., wenn [mm]\gamma:v_2\timesw\rightarrow v\otimes w[/mm] und [mm]\Phi:v\timesw\rightarrow u[/mm] existieren mit [mm]\Phi=\phi°\gamma[/mm]. ALso das wäre dann meine Lösung zu (a):
Laut den Regeln für Tensorprodukte gilt [mm]s(v\otimes w)=sv\otimes w =v\otimes sw[/mm].
Damit müsste auch gelten, dass [mm]\phi(sv\otimes w)=\phi(v\otimes sw)[/mm] für alle [mm]v,w\in\IR^2[/mm]. Jedoch gilt für die Abbildung [mm]\phi[/mm]:
[mm]\phi(sv\otimes w)=sv+w\ne \phi(v\otimes sw)=v+sw[/mm], somit gilt dann auch nicht [mm]s\phi(v\otimes w)=\phi(s(v\otimes w))[/mm]. Dmait kann auch keine lineare Abbildung [mm]\phi:\IR^2\otimes \IR^2\rightarrow\IR^2[/mm] mit [mm]\phi(v\otimes w)=v+w[/mm] existieren.
Bei der (b) weiß ich aber dann nicht wie ich so ganz die EIgneschaften für lineare Abbildungen zeigen kann.
Ich habe mir dann überlegt ein [mm]\Phi:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR[/mm] mit [mm]\Phi(x,y)=x_1y_1+x_1y_2-2x_2y_2[/mm] zu definieren und wollte dann zeigen, dass ein solches [mm]\phi[/mm] existiert. Aber da weiß ich nicht so recht wie ich so vorgehen soll.
Könntet ihr mir da vielleicht helfen?
Danke im voraus
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 So 27.06.2004 | | Autor: | Feanor |
Hallo,
Deine Lösung zur (a) klingt vernünftig, es hätte aber auch schon sowas
wie [mm]\phi((0,0)\otimes(1,0))=0*\phi((0,0)\otimes(1,0))=(0,0)\not=(1,0)[/mm] gereicht.
> Bei der (b) weiß ich aber dann nicht wie ich so ganz die
> EIgneschaften für lineare Abbildungen zeigen kann.
> Ich habe mir dann überlegt ein
> [mm]\Phi:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR[/mm] mit
> [mm]\Phi(x,y)=x_1y_1+x_1y_2-2x_2y_2[/mm] zu definieren und wollte
> dann zeigen, dass ein solches [mm]\phi[/mm] existiert. Aber da weiß
> ich nicht so recht wie ich so vorgehen soll.
Der Ansatz ist doch schonmal gut, da brauchst Du doch nur noch nachzurechnen, daß [mm]\Phi[/mm] bilinear ist, und schon hast Du nach dem Satz zum Tensorprodukt eine (eindeutig bestimmte) Abbildung [mm]\phi[/mm] mit den gewünschten Eigenschaften.
Viele Grüße
Sebastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Ich habe eine kleine Frage zu Deiner Antwort:
> [mm]\phi((0,0)\otimes(1,0))=0*\phi((0,0)\otimes(1,0))=(0,0)\not=(1,0)[/mm] gereicht.
Wieso kannst Du im 2. Schritt die Null rausziehen?
Ich hatte das gleiche Gegenbeispiel, hab´s aber so gemacht:
[mm]\phi (0,0) \otimes (1,0) = \phi (Nullmatrix) = (0,0)[/mm]
Der Schluss ist identisch mit Deinem!
Kann ich das so machen oder überseh ich da eine Kleinigkeit?
Zu b)
Definiere:
> [mm]\Phi:\IR^2\times\IR^2\rightarrow\IR[/mm] mit
> [mm]\Phi(x,y)=x_1y_1+x_1y_2-2x_2y_2[/mm]
Der Ansatz ist doch schonmal gut, da brauchst Du doch nur noch nachzurechnen, daß [mm]\Phi[/mm] bilinear ist, und schon hast Du nach dem Satz zum Tensorprodukt eine (eindeutig bestimmte) Abbildung [mm]\phi[/mm] mit den gewünschten Eigenschaften.
Sehr gut!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Feanor |
Hallo,
> Ich habe eine kleine Frage zu Deiner Antwort:
>
>
>>[mm]\phi((0,0)\otimes(1,0))=0*\phi((0,0)\otimes(1,0))=(0,0)\not=(1,0)[/mm] >>gereicht.
>
>Wieso kannst Du im 2. Schritt die Null rausziehen?
Da [mm] $\otimes$ [/mm] multilinear ist gilt [mm] $(0,0)\otimes(1,0)=[0*(0,0)]\otimes(1,0)=0*[(0,0)\otimes(1,0)]$ [/mm] und da ich angenommen habe es gibt eine solche lineare Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] gilt
[mm] $\phi((0,0)\otimes(1,0))=\phi(0*[(0,0)\otimes(1,0)])=0*\phi((0,0)\otimes(1,0))$.
[/mm]
>Ich hatte das gleiche Gegenbeispiel, hab´s aber so gemacht:
>
> [mm]\phi (0,0) \otimes (1,0) = \phi (Nullmatrix) = (0,0)[/mm]
> Der Schluss ist identisch mit Deinem!
> Kann ich das so machen oder überseh ich da eine Kleinigkeit?
Nein, das ist volkommen richtig, Du solltest nur beachten, daß im Zweifelsfall das Nullelement [mm] $0_{\IR^2\otimes\IR^2}$ [/mm] nicht unbedingt eine Matrix ist.
Viele Grüße
Sebastian
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