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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:04 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
Die lin. Abbildung [mm] \varphi : \IR^2 \to \IR^2 [/mm] sei gegeben durch:
[mm] \varphi \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] mit [mm] a, b, c \in \IR [/mm].
Berechne a,b,c so, daß [mm] \varphi [/mm] nur einen Eigenwert hat!
Ich habe keinen Schimmer, wie das gehen soll. Kann mir jemand helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chriskoi
> Die lin. Abbildung [mm]\varphi : \IR^2 \to \IR^2[/mm] sei gegeben
> durch:
>
> [mm]\varphi \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
> mit [mm]a, b, c \in \IR [/mm].
>
> Berechne a,b,c so, daß [mm]\varphi[/mm] nur einen Eigenwert hat!
>
> Ich habe keinen Schimmer, wie das gehen soll. Kann mir
> jemand helfen?
>
Die Eigenwerte werden ja bestimmt, indem man die Nullstellen des Charakteristischen POolynoms aufspürt.
Das Charakteristische Polynom vom $M$ ist die Determinante von [mm] $(M-\lambda [/mm] E)$
1. Schritt: Berechne [mm] $(M-\lambda [/mm] E)$
2. Schritt: Berechne das Charakteristische Polynom und setze es = $0$
In diesem Falle hat das Charakteristische Polynom den Grad $2$
3. Schritt: Löse die Gleichung nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf.
Nach der p-q-Formel erhältst du dann einen Ausdruck unter einer Wurzel (Diskriminante). Wenn beide Lösungen gleich sein sollen, muss die Diskriminante $0$ sein, d.h.
4. Schritt: setze die Diskriminante = $0$
Diese letzte Gleichung liefert die Abhängigkeiten zwischen $a$, $b$ und $c$
Hinweis zur Kontrolle: nach meiner flüchtigen Rechnung sollte entweder
$a-c-2b=0$ oder
$a-c+2b=0$ sein, das heisst:
[mm] $b=\bruch{\pm(a-c)}{2}$
[/mm]
Kannst du das mal versuchen, nachzuvollziehen? 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
Ok. Hab ich getan.
Ich komme aber auf
[mm]b = - \bruch{(a-c)(a-c)}{4}[/mm]
Chriskoi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chriskoi
ja, ich habe tatsächlich einen Flüchtigkeits-Vorzeichenfehler gemacht. Trotzdem komme ich nicht auf deine Lösung, sondern auf:
$c=a$ und $b=0$
Das Charakteristische Polynom ist ja:
[mm] $(a-\lambda)(c-\lambda)-b^2$
[/mm]
Also:
[mm] $(a-\lambda)(c-\lambda)-b^{2}=0$
[/mm]
[mm] $\lambda^{2}-(a+c)\lambda+ac-b^{2}=0$
[/mm]
[mm] $\lambda=\bruch{(a+c)\pm\wurzel{(a+c)^{2}-4(ac-b^{2})}}{2}$
[/mm]
Also:
[mm] $(a+c)^{2}-4(ac-b^{2})=0$
[/mm]
[mm] $a^{2}+2ac+c^{2}-4ac+4b^{2}=0$ [/mm] (Hier hatte ich meinen Fehler)
[mm] $(a-c)^{2}+4b^{2}=0$
[/mm]
Die Summe von 2 Quadratzahlen (im Reellen) kann nur den Wert $0$ annehmen, wenn beide Summanden den Wert $0$ haben. Deshalb:
$a-c=0$ und $b=0$
Die Matrix ist also:
[mm] $\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chriskoi
... und natürlich nicht vergessen:
$a [mm] \not [/mm] = 0$
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
Hi Paulus diesmal hatte ich ein Schusselfehler. Hab unter der Wurzel b statt [mm] b^2 [/mm] geschrieben.
Also ich denk es stimmt dann so, wie Du es geschrieben hast.
Danke für die Hilfe.
Chriskoi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
> Hallo Chriskoi
>
> ja, ich habe tatsächlich einen
> Flüchtigkeits-Vorzeichenfehler gemacht. Trotzdem komme ich
> nicht auf deine Lösung, sondern auf:
> [mm]c=a[/mm] und [mm]b=0[/mm]
>
> Das Charakteristische Polynom ist ja:
>
> [mm](a-\lambda)(c-\lambda)-b^2[/mm]
>
> Also:
> [mm](a-\lambda)(c-\lambda)-b^{2}=0[/mm]
> [mm]\lambda^{2}-(a+c)\lambda+ac-b^{2}=0[/mm]
>
> [mm]\lambda=\bruch{(a+c)\pm\wurzel{(a+c)^{2}-4(ac-b^{2})}}{2}[/mm]
>
> Also:
> [mm](a+c)^{2}-4(ac-b^{2})=0[/mm]
> [mm]a^{2}+2ac+c^{2}-4ac+4b^{2}=0[/mm] (Hier hatte ich meinen
> Fehler)
> [mm](a-c)^{2}+4b^{2}=0[/mm]
>
> Die Summe von 2 Quadratzahlen (im Reellen) kann nur den
> Wert [mm]0[/mm] annehmen, wenn beide Summanden den Wert [mm]0[/mm] haben.
> Deshalb:
>
> [mm]a-c=0[/mm] und [mm]b=0[/mm]
>
> Die Matrix ist also:
>
> [mm]\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}[/mm]
>
> Mit lieben Grüssen
>
Es sollte doch aber, wenn man es genau nimmt auch noch [mm]\begin{pmatrix}c&0\\0&c\end{pmatrix}[/mm] möglich sein mit [mm] c \not= 0 [/mm]
Chriskoi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chriskoi
> > Hallo Chriskoi
> >
> > ja, ich habe tatsächlich einen
> > Flüchtigkeits-Vorzeichenfehler gemacht. Trotzdem komme
> ich
> > nicht auf deine Lösung, sondern auf:
> > [mm]c=a[/mm] und [mm]b=0[/mm]
> >
> > Das Charakteristische Polynom ist ja:
> >
> > [mm](a-\lambda)(c-\lambda)-b^2[/mm]
> >
> > Also:
> > [mm](a-\lambda)(c-\lambda)-b^{2}=0[/mm]
> > [mm]\lambda^{2}-(a+c)\lambda+ac-b^{2}=0[/mm]
> >
> >
> [mm]\lambda=\bruch{(a+c)\pm\wurzel{(a+c)^{2}-4(ac-b^{2})}}{2}[/mm]
> >
> > Also:
> > [mm](a+c)^{2}-4(ac-b^{2})=0[/mm]
> > [mm]a^{2}+2ac+c^{2}-4ac+4b^{2}=0[/mm] (Hier hatte ich meinen
>
> > Fehler)
> > [mm](a-c)^{2}+4b^{2}=0[/mm]
> >
> > Die Summe von 2 Quadratzahlen (im Reellen) kann nur den
>
> > Wert [mm]0[/mm] annehmen, wenn beide Summanden den Wert [mm]0[/mm] haben.
>
> > Deshalb:
> >
> > [mm]a-c=0[/mm] und [mm]b=0[/mm]
> >
> > Die Matrix ist also:
> >
> > [mm]\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}[/mm]
> >
> > Mit lieben Grüssen
> >
> Es sollte doch aber, wenn man es genau nimmt auch noch
> [mm]\begin{pmatrix}c&0\\0&c\end{pmatrix}[/mm] möglich sein mit [mm]c \not= 0[/mm]
Das spielt gar keine Rolle. Du darfst jeden beliebigen Buchstabe dafür einsetzen. Also auch zum Beispiel $r$. Wichtig ist nur, dass aus der Form deutlich wird, dass in der Hauptdiagonalen 2 mal der gleiche Wert [mm] $\not [/mm] = 0$ steht, und in der Nebendiagonalen 2 mal $0$.
Man könnte auch schreiben: $a=r$, $b=0$ und $c=r$ mit einer beliebigen reellen Zahl $r [mm] \not [/mm] = 0$.
Mit lieben Grüssen
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