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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mo 09.01.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Ist [mm] \phi: [/mm] V->W eine lineare Abbildung, dann gilt
Für jeden Teilraum W' von W ist auch [mm] {\phi}^{-1}(W') [/mm] Teilraum von V |
Sei [mm] v_1,v_2 \in {\phi}^{-1}(W')
[/mm]
=> [mm] \phi(v_1), \phi (v_2) \in [/mm] W'
da W 'Teilraum [mm] \phi(v_1+v_2) \in [/mm] W'
Linearität [mm] \phi(v_1) [/mm] + [mm] \phi(v_2)=>v_1 [/mm] + [mm] v_2 \in {\phi}^{-1}(W')
[/mm]
Sei [mm] \lambda \in \IK, [/mm] v [mm] \in {\phi}^{-1}(W')
[/mm]
[mm] \phi(v) \in [/mm] W'
da W' Teilraum ist [mm] \lambda* \phi(v) \in [/mm] W'
=> [mm] \lambda [/mm] *v [mm] \in {\phi}^{-1}(W')
[/mm]
[mm] {\phi}^{-1}(W')\not= \emptyset
[/mm]
Hier fehlt mir derBeweis. Ich schätze 0 ist enthalten aber ich kanns nicht beweisen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:06 Di 10.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist [mm]\phi:[/mm] V->W eine lineare Abbildung, dann gilt
> Für jeden Teilraum W' von W ist auch [mm]{\phi}^{-1}(W')[/mm]
> Teilraum von V
>
> Sei [mm]v_1,v_2 \in {\phi}^{-1}(W')[/mm]
> => [mm]\phi(v_1), \phi (v_2) \in[/mm]
> W'
> da W 'Teilraum [mm]\phi(v_1+v_2) \in[/mm] W'
> Linearität [mm]\phi(v_1)[/mm] + [mm]\phi(v_2)=>v_1[/mm] + [mm]v_2 \in {\phi}^{-1}(W')[/mm]
irgendwo ist die Logik "quer":
Seien [mm] $v_1,v_2$ [/mm] wie oben, dann folgt sicher [mm] $\phi(v_1), \phi(v_2) \in W'\,.$ [/mm] Daraus folgt aber nicht wegen der Teilraumeigenschaft von [mm] $W'\,,$ [/mm] dass [mm] $\phi(v_1+v_2) \in W'\,,$ [/mm] sondern wegen der Teilraumeigenschaft von [mm] $W'\,$ [/mm] erstmal nur
[mm] $$\phi(v_1)+\phi(v_2) \in W'\,.$$
[/mm]
Und wegen der Linearität von [mm] $\phi$ [/mm] gilt
[mm] $$\phi(v_1+v_2)=\phi(v_1)+\phi(v_2)\,,$$ [/mm]
und da die rechte Seite in [mm] $W'\,$ [/mm] liegt, wie oben ersichtlicht, muss es auch die Linke Seite tun, also [mm] $v_1+v_2 \in \phi^{-1}(W')\,.$
[/mm]
> Sei [mm]\lambda \in \IK,[/mm] v [mm]\in {\phi}^{-1}(W')[/mm]
> [mm]\phi(v) \in[/mm] W'
> da W' Teilraum ist [mm]\lambda* \phi(v) \in[/mm] W'
> => [mm]\lambda[/mm] *v [mm]\in {\phi}^{-1}(W')[/mm]
Das ist richtig, aber hier fehlt die Begründung, nämlich wieder die Linearität von [mm] $\phi\,.$ [/mm] Wegen der gilt
[mm] $$\phi(\lambda v)=\lambda \phi(v)\,,$$ [/mm]
und da die rechte Seite in [mm] $W'\,$ [/mm] ... (Argumentation wie oben!)
>
> [mm]{\phi}^{-1}(W')\not= \emptyset[/mm]
> Hier fehlt mir derBeweis.
> Ich schätze 0 ist enthalten aber ich kanns nicht beweisen!
Jeder Unterraum enthält die [mm] $0\,$ [/mm] des entsprechenden Vektorraums, der den Unterraum umfasst. Das kann man leicht beweisen und ist wirklich eine Banalität. Versuch's mal!
Daher gilt: [mm] $0_W \in W'\,,$ [/mm] und wegen [mm] $\phi(0_V)=0_W$ [/mm] ist [mm] $0_V \in \phi^{-1}(W')\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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