lineare Abbildung (lin. unab.) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | K ist ein Körper. Es ist ein K-Vektorraumhomomorphismus phi: V->W gegeben. Ein n-Tupel (s1,...,sn) in V ist gegeben. Zu zeigen: Ist (phi(s1),...,phi(sn)) linear unabhängig, so ist auch (s1,...,sn) linear unabhängig. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
als Ansatz für die obige Aufgabenstellung habe ich mir überlegt, ob ich nicht einen Widerspruchsbeweis machen kann. Nun weiß ich jedoch nicht, wie genau ich diesen formulieren soll, also ich schaffe es nicht, die Fragestellung zu negieren. Könnt ihr mir da vielleicht auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße,
Matheaffe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> K ist ein Körper. Es ist ein K-Vektorraumhomomorphismus
> phi: V->W gegeben. Ein n-Tupel (s1,...,sn) in V ist
> gegeben. Zu zeigen: Ist (phi(s1),...,phi(sn)) linear
> unabhängig, so ist auch (s1,...,sn) linear unabhängig.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> als Ansatz für die obige Aufgabenstellung habe ich mir
> überlegt, ob ich nicht einen Widerspruchsbeweis machen
> kann. Nun weiß ich jedoch nicht, wie genau ich diesen
> formulieren soll, also ich schaffe es nicht, die
> Fragestellung zu negieren. Könnt ihr mir da vielleicht auf
> die Sprünge helfen?
Es geht direkt:
Seien [mm] k_1,...,k_n \in [/mm] K und es sei
(*) [mm] 0=k_1s_1+...k_ns_n.
[/mm]
Du hast die Aufgabe gelöst, wenn Du zeigen kannst: [mm] k_1=k_2=...=k_n=0.
[/mm]
Dazu lasse [mm] \phi [/mm] auf (*) los.
FRED
> Viele Grüße,
> Matheaffe
|
|
|
| |
|
Ach, so einfach geht es? Super, dankeschön :)
edit:
Ich bin gerade noch dabei, aber irgendwie hakt es noch. Ich bin dabei zu zeigen:
k1*phi(s1)+...+kn*phi(sn)=0
Da (phi(s1),...,phi(sn)) linear unabhängig sind, gilt:
k1=...=kn=0
Nun gibt es eine Umkehrabbildung, die wieder zum Urbild führt:
[mm] k1*phi^{-1}(phi(s1)+...+... [/mm] = k1*s1+...
Kann man dann so argumentieren und sagen, dass k1 bis kn = 0 sind?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Do 15.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ach, so einfach geht es? Super, dankeschön :)
>
> edit:
> Ich bin gerade noch dabei, aber irgendwie hakt es noch.
> Ich bin dabei zu zeigen:
> k1*phi(s1)+...+kn*phi(sn)=0
> Da (phi(s1),...,phi(sn)) linear unabhängig sind, gilt:
> k1=...=kn=0
Ja, und fertig bist Du !
>
> Nun gibt es eine Umkehrabbildung,
Wie kommst Du darauf ????
> die wieder zum Urbild
> führt:
> [mm]k1*phi^{-1}(phi(s1)+...+...[/mm] = k1*s1+...
>
> Kann man dann so argumentieren
Nein.
> und sagen, dass k1 bis kn =
> 0 sind?
Das httest Du doch oben schon !
FRED
|
|
|
|
