lineare Abhängigkeit in Q, Z_5 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Di 16.12.2008 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende Vektoren des [mm] K^{3}:
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{2 \\ 2 \\ 2}, \vektor{4 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Untersuchen Sie diese Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit und zwar für die Fälle K = [mm] \IQ [/mm] und K = [mm] \IZ_{5} [/mm] |
Hi,
Frage ist ja oben... also ich habe das so gemacht:
Lineare Abhängigkeit gilt, wenn folgende Gleichung gilt:
[mm] x_{1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] mit [mm] x_{1}, x_{2}, x_{3} \not= [/mm] 0
Habe das dann per gauß'chem Eliminationsverfahren ausgerechnet und kam auf folgende Lösungsmengen:
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{K = \IQ | x_{2} = -x_{3} \wedge x_{1} = 2*x_{2} \}
[/mm]
[mm] \IL [/mm] = [mm] \{K = \IZ_{5} | x_{2} = -x_{3} \wedge 3 * x_{1} = x_{2} \}
[/mm]
und damit gilt für beide Fälle die Lineare Abhängigkeit.
Ohne jetzt die ganze Umformung der Matrizen zu zeigen, kann man das so schreiben bzw. ist/könnte das so richtig sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Di 16.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Gegeben seien folgende Vektoren des [mm]K^{3}:[/mm]
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{2 \\ 2 \\ 2}, \vektor{4 \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> Untersuchen Sie diese Vektoren auf lineare Abhängigkeit
> bzw. lineare Unabhängigkeit und zwar für die Fälle K = [mm]\IQ[/mm]
> und K = [mm]\IZ_{5}[/mm]
> Hi,
Hallo 
> Frage ist ja oben... also ich habe das so gemacht:
> Lineare Abhängigkeit gilt, wenn folgende Gleichung gilt:
> [mm]x_{1}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> + [mm]x_{3}[/mm] * [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] mit
> [mm]x_{1}, x_{2}, x_{3} \not=[/mm] 0
Achtung: Es müssen nicht alle drei ungleich 0 sein!
>
> Habe das dann per gauß'chem Eliminationsverfahren
> ausgerechnet und kam auf folgende Lösungsmengen:
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{K = \IQ | x_{2} = -x_{3} \wedge x_{1} = 2*x_{2} \}[/mm]
Zur Schreibweise: [mm] K=\IQ [/mm] so in eine Menge zu schreiben, macht keinen Sinn. Du gibst doch im "hinteren" Teil der Menge eine Eigenschaft für die Vektoren aus [mm] \IQ^3 [/mm] an, also musst du die Menge so definieren:
[mm]\IL[/mm] = [mm]\{x \in \IQ^3 | x_{2} = -x_{3} \wedge x_{1} = 2*x_{2} \}[/mm]
Das kann so allerdings nicht stimmen - setze mal z.B. [mm] x_3 [/mm] = 1 ein...
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]\{K = \IZ_{5} | x_{2} = -x_{3} \wedge 3 * x_{1} = x_{2} \}[/mm]
>
> und damit gilt für beide Fälle die Lineare Abhängigkeit.
> Ohne jetzt die ganze Umformung der Matrizen zu zeigen,
> kann man das so schreiben bzw. ist/könnte das so richtig
> sein?
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Di 16.12.2008 | | Autor: | Pille456 |
Hmm, ja da hast du recht, dass das so nicht stimmen kann, aber ich finde hier auch gerade den Fehler nicht:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} \Rightarrow \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Hoffe man kann die Schritte einigermaßen nachvollziehen, ist eigentlich nur Addition und Subtraktion von Zielen. Im ersten Schritt subtrahiere ich die 2. Ziele von der dritten und die dritte von der (alten) zweiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Di 16.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
du rechnest im ersten Schritt
III - II
und gleichzeitig
II - III
Wegen (II - III) = - (III - II) kommt mit diesem Schritt bei jeder Matrix in der dritten Zeile das Negative der zweiten heraus, und so entsteht immer eine Nullzeile. Das ist falsch.
Ein Beispiel dazu: Die 3x3 - Einheitsmatrix hat definitiv Rang 3. Aber mit deinem Umformungsschritt:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 } \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also lieber einen Schritt nach dem anderen.
Ich erhalte nach einigen Umformungen die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 },
[/mm]
also [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0
und damit die lineare Unabhängigkeit.
LG djmatey
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