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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 10.10.2010 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] linear abhängig im Vektorraum V über K. richtig oder falsch:
Jedes [mm] a_{p} [/mm] ist linear kombinierbar aus den [mm] a_{j} [/mm] mit j [mm] \in [/mm] {1,...,n} \ {p}. |
Hey, diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt!
Die Behauptung ist falsch! Warum überlege ich gerade und ich komme nicht drauf, hier meinen bisherigen Überlegungen.
Ist die Familie linear abhängig, muss doch eigentlich gelten:
[mm] a_{p} [/mm] = [mm] k_{1} \* a_{1} [/mm] + [mm] k_{2} \* a_{2} [/mm] + ... + [mm] k_{p-1} \* a_{p-1} [/mm] + [mm] k_{p+1} \* a_{p+1} [/mm] + ... + [mm] k_{n} \* a_{n}. [/mm]
Ich verstehe nicht, warum die Behauptung nicht gilt, könnt ihr mir mit einem Gegenbeispiel helfen?
Ich hab mir für [mm] R^3 [/mm] einige Beispiele gesucht, wo die Familie lin abhg war, die einzelnen Elemente aber untereinander linear unabhängig, aber ich kriege kein geeignetes Gegenbeispiel!
Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!
Vielen Dank jetzt schon und euch einen schönen Sonntag!
MFG Ersty
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Huhu,
ich dachte spontan auch erst, dass die Aussage stimmt.
Wenn man sich den Beweis aber sauber überlegt (was heisst lineare Abhängigkeit nach der Definition) und dann versucht nach [mm] a_p [/mm] umzustellen, kommt man auf eine Fallunterscheidung.
Und an dieser liegt dann auch der Grund, warum es NICHT für alle [mm] a_p [/mm] gilt.
Als Tip: Eine Menge von Vektoren ist bereits dann linear abhängig, wenn 2 Vektoren linear abhängig sind. Kannst du die restlichen linear unabhängigen Vektoren dann aus den anderen erzeugen?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Ersty |
Vielen Dank für eure Hilfe!
MFG Ersty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 So 10.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nimm z.B. einfach mal [mm] a_1=\vektor{1 \\0}, a_2=\vektor{0 \\ 1} [/mm] und [mm] a_3=\vektor{0 \\ 1}. [/mm] Dann ist [mm] 0*a_1+1*a_2-1*a_3=0 (a_1, a_2, a_3 [/mm] sind linear abhängig), aber [mm] a_1 [/mm] lässt sich nicht durch [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] linearkombinieren.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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