lineare DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 14.09.2009 | | Autor: | uecki |
| Aufgabe | Gesucht ist eine Variablensubstitution, so dass im Ergebnis eine lineare DGL ensteht, die dann auch zu lösen ist:
[mm] (x^2-1)*y'*sin(y) [/mm] + 2*x*cos(y) = 2*x - [mm] 2*x^3
[/mm]
|
Hallo,
also, an der obigen Aufgabe sieht man ja, dass man die Gleichung nach y' auflösen muss und sie dann mit homogener und partikulärer Lösung lösen.
Zuerst muss allerdings eine Variablensubstition passieren, da die gegebene DGL nicht linear in y ist. Deswegen habe ich diesen Ansatz gewählt:
[mm] (x^2-1)*y'*sin(y) [/mm] + 2*x*cos(y) = 2*x - [mm] 2*x^3 [/mm] /*(-1)
[mm] -(x^2-1)*y'*sin(y) [/mm] - 2*x*cos(y) = -2*x + [mm] 2*x^3
[/mm]
Subtitution:
z = -cos(y)
dz= sin(y) dy
[mm] \Rightarrow (1-x^2)*\bruch{dz}{dx} [/mm] + 2*x*z = -2*x + [mm] 2*x^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z' = [mm] \bruch{2x}{1-x^2}*z [/mm] - [mm] \bruch{2x}{1-x^2} [/mm] + [mm] \bruch{2x^3}{1-x^2}
[/mm]
Da ich keine Lösung habe, möchte ich lediglich wissen, ob das so richtig ist??!
Oder muss ich auch noch in x eine Substitution machen? Doch nur um nachher die Integration für die Lösung zu vereinfachen, aber für die reine lineare DGL ist es doch so schon fertig, oder?
Danke schon mal, LG 
|
|
| |
|
Hallo uecki,
> Gesucht ist eine Variablensubstitution, so dass im Ergebnis
> eine lineare DGL ensteht, die dann auch zu lösen ist:
>
> [mm](x^2-1)*y'*sin(y)[/mm] + 2*x*cos(y) = 2*x - [mm]2*x^3[/mm]
>
> Hallo,
>
> also, an der obigen Aufgabe sieht man ja, dass man die
> Gleichung nach y' auflösen muss und sie dann mit homogener
> und partikulärer Lösung lösen.
> Zuerst muss allerdings eine Variablensubstition passieren,
> da die gegebene DGL nicht linear in y ist. Deswegen habe
> ich diesen Ansatz gewählt:
> [mm](x^2-1)*y'*sin(y)[/mm] + 2*x*cos(y) = 2*x - [mm]2*x^3[/mm] /*(-1)
> [mm]-(x^2-1)*y'*sin(y)[/mm] - 2*x*cos(y) = -2*x + [mm]2*x^3[/mm]
> Subtitution:
> z = -cos(y)
> dz= sin(y) dy
>
> [mm]\Rightarrow (1-x^2)*\bruch{dz}{dx}[/mm] + 2*x*z = -2*x + [mm]2*x^3[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] z' = [mm]\bruch{2x}{1-x^2}*z[/mm] - [mm]\bruch{2x}{1-x^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{2x^3}{1-x^2}[/mm]
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\Rightarrow z' = \red{-}\bruch{2x}{1-x^2}*z - \bruch{2x}{1-x^2} +
\bruch{2x^3}{1-x^2}[/mm]
>
> Da ich keine Lösung habe, möchte ich lediglich wissen, ob
> das so richtig ist??!
> Oder muss ich auch noch in x eine Substitution machen?
> Doch nur um nachher die Integration für die L+ösung zu
> vereinfachen, aber für die reine lineare DGL ist es doch
> so schon fertig, oder?
Ja.
Nun, mußt Du die DGL noch lösen.
>
> Danke schon mal, LG
Gruss
MathePower
|
|
|
|
